已知兩向量x=(1,3) 、y=(4,2)，若|x+ty|為最短，則t=? 求解！！！急需?

Sol
A^2=｜x+ty｜^2
=｜(1，3)+t(4，2)｜^2
=｜(1+4t，3+2t)｜^2
=(1+4t)^2+(3+2t)^2
=(16t^2+8t+1)+(4t^2+12t+9)
=20t^2+20t+10
=20(t^2+t)+10
=20(t^2+t+1/4)+10－5
=20(t+1/2)^2+5
當t=－1/2時 A=√5最小

想到兩種解法，但不知原PO程度如何，只好兩種都簡單說一遍：

(1) 直接代數解：
如果原PO懂一點微分，這是最快的解法
如果沒學過，請直接跳過@@

原式：|x + ty| 即是sqrt( (1 + 4t)^2 + (3 + 2t)^2)
這裡sqrt是開根號，^2是平方的意思

既求此式的最小值(最短)，即是一次微分為零且二次微分大於零的點
不過我們偷懶只微一次就夠了，得到
2 * (1 + 4t) * 4 + 2 * (3 + 2t) * 2 = 0
化簡後可求得t


(2) 參數式求解：

在這裡覺得這題出題不太好，跟通常習慣使用的符號會衝突
以下把x用a代替，y用b代替，避免混淆

如果把 a + tb 的軌跡畫在XY平面上的畫，a + tb 其實就是以 a 為起點，以 b 為方向向量，以t為參數的直線參數式
而加上絕對值就表示要求這個直線上的某個點，這個點到原點的距離是最小
基於某些神秘的原因，當你求直線 (L) 上某點 (p) 到另一個固定點 (o) 的距離會是最小，把點 p 和點 o 連起來，必然會和原來的直線 L 垂直

所以我們可以這樣解出點 p：
直線一，以 a 點 (1, 3) 為起點，b (4, 2) 為方向向量，t 為參數，得
x： 1 + 4t
y： 3 + 2t

直線二，以原點 (0, 0) 為起點，b 的法向量 (-2, 4) 為方向向量，假設 s 為參數，得
x： -2s
y： 4s

求兩線交點，得兩等式
1 + 4t = -2s
3 + 2t = 4s

解之得 t ，為不侮辱原PO智商，這裡就不代勞了@@


有問題就再說吧