abc為三角形三邊,(a,b,c)=1,A和BC中點連線和內切圓相割成三等分,則a+b+c=?

記 BC 中點為 M , 圓與 AB , BC , CA 分別相切於 c' , a' , b' , 設 M 位於 C 和 a' 之間, 令 AM = m。
因 AM 和內切圓相割成三等分, 由圓冪定理可得 Ac' ² = Ma' ² = 2m/3 * m/3 , 於是 Ac' = Ma'
⇒ Ac' + c'B = Ma' + a'B ⇒ AB = BM。

不妨令 AB = BM = CM = 1 , AC = k , 考慮 △ACM 及 △ACB ,
得 cos C = (k² + 1 - m²) / (2k) = (k² + 4 - 1) / (4k) , 得 m² = (k² - 1)/2。

最後由 Ab' = Ac' = (√2/3)m = Ma' , 考慮
Cb' = Ca'
AC - Ab' = CM + Ma'
k - (√2/3)m = 1 + (√2/3)m
k - 1 = 2(√2/3)m
(k - 1)² = 8m² / 9
(k - 1)² = 4(k² - 1) / 9
9(k - 1) = 4(k + 1) ...... 兩邊約去 k - 1 因 k ≠ 1 否則 AB + AC = 1 + 1 = BC 則 BAC 共線矛盾!
k = 13/5

於是 a : b : c = 2 : 13/5 : 1 = 10 : 13 : 5 , 則 a + b + c = 10 + 13 + 5 = 28。