MATHS :problem about critical point?

Dan

2016-12-08 10:26 pm

f is a twice differentiable function，1) determine that whether f(x) and F(x) have the same number of critical points.

2) Let f'' > 0 on interval [0,4] ， does f has at most 1 critical point only ?

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回答 (1)

老怪物

2016-12-13 7:51 am

✔ 最佳答案

F'(x) = f'(x)f"(x)

故 f'(x)=0 OR f"(x)=0 處均得 F'(x)=0.
若 f 有 k > 1 個 critical points, 設 f'(a) = 0 = f'(b),
則介於 a, b 之間, 存在 c 使 f"(c) = 0,
也就是說, 至少有另外 k-1 個點使 f"(x) = 0,
因此 F 有至少 2k-1 個 critical points.
所以, f 與 F 有相同個數的 critical points 的情形是
f 僅有 0 或一個 critical point, 且 f' 沒有不同於 f 的 critical point.

若 f"(x) 在一個區間恆正, 表示 f'(x) 在該區間嚴格上升, 因此 f' 至多一個
zero point, 因此 F 與 f 共同一個 critical point, 或都沒有 critical point.

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