幾何形狀與體積問題? 請問我的論點和解法對嗎? 有哪邊有錯嗎?

[匿名]

2016-11-27 2:58 pm

我的解法：
B與C，選一個來比較就可以了，可以當他們是同一個，只是擺放角度不一樣而已。都一樣是長方體。
所以比較A、B就好。
另外，因為不知道紙箱形狀，所以假設紙箱為立方體或長方體紙箱，此結果直接導致裝A罐頭需要的紙箱體積較大。

假設：
A為圓柱體，底面積的直徑為4公分。
B為長方體，其底面積為正方形，正方形之邊長為4公分。
放入相同的物質1公斤，則可以知道圓柱體需要的高較高才能裝滿，因為A的底面積較小。
總結，A因為底面積小於B，所以需要的高較高。
又因為裝入相同物質，所以密度一樣，且題目說裝入相同質量，所以A罐頭與B罐頭的體積是一樣的，只是A罐頭若裝入立方體或長方體紙箱會殘餘較多空間沒裝到東西。

重要結論：
因題目沒說紙箱形狀，所以假設立方體或長方體紙箱，若紙箱形狀剛好是設計裝A圓柱體的圓柱體紙箱，那結果應該會是裝B罐頭需要的紙箱較大了...???
這題目是要考哪種形狀，會比較浪費箱子的空間。若題目有給出箱子的體積，所以想這題就沒有爭議了吧?

回答 (1)

Lopez

2016-11-28 6:07 am

✔ 最佳答案

圓柱體紙箱理論上可行, 但實務上會有問題, 因為搬運過程容易滾動, 造成貨物損毀,
因此, 只需考慮一般的長方體紙箱.

以下比較 A , B 所需紙箱大小 :
設 :
罐頭平均密度為 ρ
罐頭 A 的半徑為 R , 直徑為 D , 高度為 H
罐頭 B 的尺寸為 D×D×T ( 底座為 D×D , 高度為 T 的長方體 )
一個紙箱裝 m×n 公斤, m > n
且裝箱方式為 m 行 n 列 , 高度上只放一層.

例如, m = 5 , n = 2 , 俯視圖如下所示 :
○○○○○
○○○○○
( 因為打字的關係, 所以間隙較大, 故相鄰的罐頭請視為兩兩相切 )

分別裝罐頭 A , B 的兩種紙箱,
兩者的紙箱長度相同, 皆為 m×D ,
兩者的紙箱寬度相同, 皆為 n×D ,
因此, 兩者的紙箱高度將決定紙箱大小.
又高度上只放一層, 所以紙箱高度即罐頭高度.
( 紙箱厚度相對微小, 故可忽略不計 )

1 公斤 = ( π R² H ) ρ = ( D² T ) ρ
π R² H = D² T
π ( D / 2 )² H = D² T
T = ( π / 4 ) H ≒ ( 3.14 / 4 ) H = 0.785H < H
故得 H > T
即罐頭 A 的高度, 大於罐頭 B 的高度.
因此裝罐頭 A 的紙箱高度, 大於裝罐頭 B 的紙箱高度,
又兩者紙箱長寬相同, 故裝罐頭 A 的紙箱較大.

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