國中數學資優問題，請各位高手不吝指教: 已知，以O點為圓心的圓與直線L交於E、F兩點 (1)試以尺規作圖，於圖中作正方形ABCD，且A、B在優弧EGF上，C、D在直線L上。 (2)試證明(1)作法的正確性。 (3)若圓O的半徑為5，線段EF=8求正方形ABCD的邊長。?

(1)
記 M 為 EF 之中點, 作 MO , 過圓心作 MO 之垂線 ON , 使 MO = 2ON , 連 MN 交優弧於 B ,
過 B 作 EF 之平行線交優弧於 A , 再過 A 、B 作 EF 之垂線分別交 EF 於 D、C , 則 ABCD 即為正方形。

(2)
由 MO = 2ON 知 AC = BD = 2MD = 2MC = AB 結合∠ A、∠ B、∠C、∠ D 皆直角可證。

(3)
OM = √(5² - (8/2)²) = 3 , 記正方形ABCD邊長為 x , 則
(x - 3)² + (x/2)² = 5²
4x² - 24x + 36 + x² = 100
5x² - 24x - 64 = 0
0 < x = (24 + √(24² + 4*5*64)) / 10 = (12 + 4√29) / 5 = 6.708... 即為正方形ABCD的邊長。