1.設a屬於R，若方程式x^2+(a-5)x+a+3=0有二正實根，則a的範圍為? 2.設整係數多項式f(x)=x^3+ax^2+bx-4，滿足f(√3)>0。若方程式f(x)=0有一有理根α，且f(x)=0的三根之中，其中兩根之和為√3i，試求(1)α?(2)數對(a，b)?

1.設a屬於R，若方程式x^2+(a－5)x+a+3=0有二正實根，則a的範圍為?
Sol
D=(a－5)^2－4*1*(a+3)>=0
a^2－10a+25－4a－12>=0
a^2－14a+13>=0
(a－1)(a－13)>=0
a<=1 or a>=13
2.設整係數多項式f(x)=x^3+ax^2+bx－4，滿足f(√3)>0。若方程式f(x)=0有一有理根α，且f(x)=0的三根之中，其中兩根之和為√3i，試求
(1)α?
Sol
設三根α，p+qi，p－qi，p，q屬於R
α+(p+qi)= √3i
q=√3，α+p=0
(x－p－qi)(x－p+qi)
=(x^2－2px+p^2+q^2
=x^2－2px+p^2+3
= x^2+2αx+α^2+3
f(x)=x^3+ax^2+bx-4
x^3+ax^2+bx-4=(x－α)(x^2+2αx+α^2+3)
4=α(α^2+3)
α^3+3α－4=0
(α^2+α+4)(α－1)=0
1^2－4*4=－15<0
α=1
(2)數對(a，b)?
Sol
p=－1
x^3+ax^2+bx－4=(x－1)(x^2+2x+4)
a=1，b=2
(a，b)=(1，2)