三角形ABC中,角A=45度,過A作BC上的垂線,交BC於M,若BM=2,CM=3,則AB+AC之值最接近哪一個整數?

由餘弦定理
AB² + AC² - 2AB * AC cos45° = BC²
AB² + AC² - 2AB * AC√2/2 = (2+3)²
AB² + AC² - AB * AC√2 = 25 ... (1)

由勾股定理
AM² + 2² = AB² 及 AM² + 3² = AC² ... (2)

△ABC = AB * AC sin45° / 2 = BC * AM / 2
⇒ AB * AC √2 = 10AM ... (3)

把 (2) , (3) 代入 (1) :
AM² + 2² + AM² + 3² - 10AM = 25
AM² - 5AM - 6 = 0
(AM - 6)(AM + 1) = 0
0 < AM = 6

AB + AC = √(AM² + 2²) + √(AM² + 3²) = √40 + √45 = 13.03... 最接近整數13。