有三線段,長度分別為a,b,c,已知a小於等於b小於等於c,且a^4+b^4+c^4<2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2),試證明此三線段必能圍成一個三角形?

a⁴+ b⁴+ c⁴< 2(a²b² + b²c² + a²c²)
a⁴- (2b² + 2c²)a² + b⁴+ c⁴- 2b²c² < 0
a⁴- (2b² + 2c²)a² + (b² - c²)² < 0
a⁴- ((b - c)² + (b + c)²)a² + (b - c)² (b + c)² < 0
(a² - (b - c)²) (a² - (b + c)²) < 0
(a - b + c)(a + b - c) (a - b - c)(a + b + c) < 0 ...... (*)
因 0 < a ≤ b ≤ c , 故 a - b + c > 0 及 a - b - c < 0 及 a + b + c > 0 於是 (a - b + c) (a - b - c) (a + b + c) < 0 ,
綜合(*)式必有 a + b - c > 0 , 即兩邊a,b之和大於最長邊c , 故此三線段必能圍成一個三角形。