工程數學，請問圈起來的第11題，怎麼解?

11.
y' + y = y^4
Sol :
此題屬 Bernoulli's equation , 有以下系統化的解法 :

Step 1. 等式左右皆乘以 y^(-4) , 讓非齊次項中的變數 y 消失
y^(-4)*y' + y^(-3) = 1 ..... (1式)

Step 2. 令 w = y^(-3) 以轉換成一階線性O.D.E.
w' = - 3*y^(-4)*y'
因此 (1式) 即 :
w'/(-3) + w = 1
w' - 3w = - 3 ..... (2式)
已轉換成一階線性O.D.E.

Step 3. 按照一階線性O.D.E.的標準解法
積分因子 μ = e^[ ∫ (-3) dx ] = e^(-3x)
(2式) 乘以積分因子 e^(-3x) 得 :
e^(-3x)*w' - 3*e^(-3x)*w = - 3*e^(-3x)
d[ w * e^(-3x) ] = - 3*e^(-3x)
w * e^(-3x) = ∫ [ - 3*e^(-3x) ] dx = e^(-3x) + c
w = [ e^(-3x) + c ] / e^(-3x) = 1 + c*e^(3x)

因為 w = y^(-3) , 所以 :
y^(-3) = 1 + c*e^(3x)
y^3 = [ 1 + c*e^(3x) ]^(-1)
y = [ 1 + c*e^(3x) ]^(-1/3) ..... Ans

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驗算 :
y = [ 1 + c*e^(3x) ]^(-1/3)
y' = (-1/3) * [ 1 + c*e^(3x) ]^(-4/3) * [ 3c*e^(3x) ] = - c*e^(3x) * [ 1 + c*e^(3x) ]^(-4/3)
令 u = 1 + c*e^(3x)
y + y'
= [ 1 + c*e^(3x) ]^(-1/3) - c*e^(3x)*[ 1 + c*e^(3x) ]^(-4/3)
= u^(-1/3) - (u-1)*u^(-4/3)
= u^(-1/3) * [ 1 - (u-1)*u^(-1) ]
= u^(-1/3) * [ 1 - (u-1)/u ]
= u^(-1/3) * ( 1 - 1 + 1/u )
= u^(-1/3) * u^(-1)
= u^(-4/3)
= [ 1 + c*e^(3x) ]^(-4/3)
= y^4
故驗算無誤