求解 還有詳細公式 Prove that lim x→2│1-3x│=5 ││x│-│y││<│x+y│?

底下的不等式是此題的提示, 先證明此不等式.

claim : │ │x│ - │y│ │ ≦ │x + y│
pf :
因為 │a│ + │b│ ≧ │ a + b │
所以 │x│ + │ - x - y │ ≧ │ x + ( - x - y ) │
即 │x│ + │ x + y │ ≧ │ y │
因此 │x│ - │ y │ ≧ - │ x + y │ ..... (1)

因為 │a│ + │b│ ≧ │ a + b │
所以 │ - y │ + │ x + y │ ≧ │ - y + ( x + y ) │
即 │y│ + │ x + y │ ≧ │ x │
因此 │x│ - │ y │ ≦ │ x + y │ ..... (2)

由 (1) 與 (2) 得 :
- │ x + y │ ≦ │x│ - │ y │ ≦ │ x + y │
因此 │ │x│ - │y│ │ ≦ │x + y│
Q.E.D.

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回到主題, 證明此極限.

claim : lim x→2 │ 1 - 3x │ = 5
pf :
依照極限的定義, 需證明 :
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0
s.t. 0 < │ x - 2 │ < δ ⇒ │ │ 1 - 3x │ - 5 │< ε

利用提示 │ │x│ - │y│ │ ≦ │x + y│ 可得 :
│ │ 1 - 3x │ - 5 │≦ │ ( 1 - 3x ) + 5 │ = │ - 3x + 6 │ = 3│ x - 2 │
即 │ │ 1 - 3x │ - 5 │ ≦ 3│ x - 2 │

∀ ε > 0 , 取 δ = ε / 3
當 0 < │ x - 2 │ < δ 時,
│ │ 1 - 3x │ - 5 │ ≦ 3│ x - 2 │< 3δ = ε
因此 lim x→2 │ 1 - 3x │ = 5
Q.E.D.