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反證法:
假設當 n→ ∞ 時 S 為有限, 則必存在第 k-1 個質數 p_(k-1) 使
1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p_(k-1) ≤ S - 1/2 < 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p_k ,
那末 S - 1/2 < S - (1/p_(k+1) + 1/p_(k+2) + ... + 1/p_n + ...)
⇒ 1/p_(k+1) + 1/p_(k+2) + ... 1/p_n + ... < 1/2 ... ❶。
設整數 1 至 x 中共有 ? 個不含質因子 p_(k+1) , p_(k+2) , ... , p_n , ...。
換言之此 ? 個數的質因子範圍不外乎 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , ... , p_k 共 k 個。
把此 ? 個數表為 ab² 之形式, 約定 a 不含非1的平方數因子。
今考慮 ? 的上限, 即 ab² 有多少個可能值, 首先 a 不含非1平方數因子故 a 的質因子連乘式中
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , ... , p_k 的次方值非 1 即 0 , 故 a 有 2ᵏ 個可能, 而 ab² ≤ x ⇒ b ≤ √x ,
故 b 最多有 √x 個可能, 那末 ab² 最多有 2ᵏ √x 個可能, 即 ? ≤ 2ᵏ √x ... ❷。
另一方面, 整數 1 至 x 中有 x - ? 個含有不少於 p_(k+1) 的質因子,
而 1 至 x 中含有質因子 p_(k+1) 、p_(k+2)、... 、p_n 、... 的數分別有
[x/p_(k+1)] 、[x/p_(k+2)] 、... 、[x/p_n] 、... 個 ,
則成立 x - ? ≤ x/p_(k+1) + x/p_(k+2) + ... + x/p_n + ... ,
這是因為 1 至 x 中可能有些數有兩個或以上不少於p_(k+1) 的質因子。
最後, 由❶得 x - ? ≤ x/p_(k+1) + x/p_(k+2) + ... + x/p_n + ... < x/2 ⇒ x - ? < x/2 ⇒ x/2 < ?
綜合❷得 x/2 < ? ≤ 2ᵏ √x
取 x = 2²ᵏ⁺² , 有 2²ᵏ⁺²/2 < ? ≤ 2ᵏ √2²ᵏ⁺² ⇒ 2²ᵏ⁺¹ < ? ≤ 2²ᵏ⁺¹ 矛盾!
故假設 S 有限不成立, 從而 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... + 1/p_n 趨近無限大。
註:
由 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... + 1/p_n → ∞ 得 n → ∞ 所以質數有無窮多。
