若a, b 均為實數, 試證明以下等式成立, sqrt( sqrt(a^2 + b^2) + a ) = sqrt(sqrt(a^2 + b^2)) * cos( 0.5*arctan(b/a) ) 其中"sqrt"為平方根.?

Sol
√[ 0.5*√(a^2 + b^2)+a) ]=√｛√(a^2 + b^2)*Cos[0.5*ArcTan(b/a)]｝
Set p=√(a^2 + b^2)，Tanw=b/a
w=ArcTan(b/a)
Cosw=a/√(a^2 + b^2)
M=(a^2 + b^2)*Cos[0.5*ArcTan(b/a)]=√(a^2 + b^2)*Cos(w/2)>0
2M^2=2(a^2+b^2)*Cos^2 (w/2)
=(a^2+b^2)*(1+Cosw)
=(a^2+b^2)[1+a/√(a^2 + b^2)]
=(a^2+b^2)+a√(a^2 + b^2)]
M^2=0.5*√(a^2+b^2)*[√(a^2+b^2)+a]
So
0.5*√(a^2+b^2)*[√(a^2+b^2)+a]=(a^2+b^2)*Cos[0.5*ArcTan(b/a)]
0.5*[√(a^2+b^2)+a]=√(a^2+b^2)*Cos[0.5*ArcTan(b/a)]
√[ 0.5*√(a^2 + b^2)+a) ]=√｛√(a^2 + b^2)*Cos[0.5*ArcTan(b/a)]｝