中四數學挑戰題(圓的基本性質): 在圖中, POS是圓的一條直徑. 若OR∥PQ, 求θ的可能範圍.(提示: θ<90o)?

因為 OS = OR = 圓半徑
所以 ∠OSR = θ
∠ROS = 180° - 2θ

因為 OR 與 PQ 平行
∠OPQ = ∠ROS = 180° - 2θ

因為 OP = OQ = 圓半徑
所以 ∠OQP = ∠OPQ = 180° - 2θ
∠POQ = 180° - 2( 180° - 2θ ) = 4θ - 180°

∠ROS = 180° - 2θ > 0°
θ < 90°

∠POQ = 4θ - 180° > 0°
θ > 45°

因此, 45° < θ < 90° ..... Ans

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補充說明 上界90° 與 下界45° 的幾何意義 :

當 ∠ROS = 180° - 2θ = 0° , R點 與 S點 重合.
又 OR 與 PQ 平行, 所以 Q點 與 S點 也會重合.
也就是: Q點 與 R點 順時針方向移動的極限是 S點.
但 ∠ROS 可以是非常微小的角度, 例如 0.00001° , 但不可能是 0° ,
所以 Q點 與 R點 往順時針方向移動, 可以非常靠近 S點, 但永遠到不了 S點.

當 ∠POQ = 4θ - 180° = 0° , Q點 與 P點 重合.
又 OR 與 PQ 平行, 所以 R點 與 P點 也會重合.
也就是: Q點 與 R點 逆時針方向移動的極限是 P點.
但 ∠POQ 可以是非常微小的角度, 例如 0.00001° , 但不可能是 0° ,
所以 Q點 與 R點 往逆時針方向移動, 可以非常靠近 P點, 但永遠到不了 P點.

I can not type in Chinese.

1) Since PQ||OR, ∠ROS must less then 90° as long as PQ > 0.
2) Since OR = OS, ∠ORS=∠OSR = θ

Since ∠ROS + 2θ = 180° than, 2θ° = (180° - ∠ROS ) where 0° < ∠ROS < 90°
Than 45°< θ <90°