10. 範例：空間中四個平面 x=0，y=0，z=0，E：x+y+z=1所圍成的四面體的內切球的半徑長為何?

inthisx_00

2016-09-20 3:01 pm

這題用點到直線的距離去解，

x+y+z=1 是不是要先化成x+y+z-1=0，才是符合ax+by+c=0這個式子，才能當成分子用？

另外分母1^2+1^2+1^2是不是從x+y+z=1這式子看出來的？

|x+y+z-1| / 根號1^2+1^2+1^3

回答 (1)

Lopez

2016-09-21 11:50 am

✔ 最佳答案

設此內切球的半徑為 R , 且其球心為 P( a , b , c )
顯然, a , b , c 皆為正.

R = d( P , x = 0 ) = d( P , y = 0 ) = d( P , z = 0 ) = d( P , x+y+z = 1 )
R = a = b = c =｜a + b + c - 1｜/ √( 1² + 1² + 1² )
R =｜3R - 1｜/ √3
√3 * R = ｜3R - 1｜
3R² = ( 3R - 1 )²
6R² - 6R + 1 = 0
R = ( 3 ± √3 ) / 6

R = ( 3 + √3 )/6 不合, 原因如下.
x+y+z = 1 將三維空間分割成兩個區域 :
x+y+z-1 > 0 與 x+y+z-1 < 0
因為 0+0+0-1 < 0 , 所以原點在 x+y+z-1 < 0 區域.
由題意可知, 球心與原點在同一個區域,
即球心 ( a , b , c ) = ( R , R , R ) 也在 x+y+z-1 < 0 區域.
所以 3R - 1 < 0
當 R = ( 3 + √3 )/6 ≒ 0.789 時, 3R - 1 = 1.367 > 0 , 故不合.
當 R = ( 3 - √3 )/6 ≒ 0.211 時, 3R - 1 = - 0.367 < 0 , 符合所求.

Ans: ( 3 - √3 ) / 6

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