急！a,b,c為三角形之三邊，則b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2根為相異實根，重根，虛根？ ABCDE為正5邊形，P為線段AC,BE交點，求AP/PC?

1.
判別式 D
= ( b² + c² - a² )² - 4b²c²
= ( b² + c² - a² + 2bc )( b² + c² - a² - 2bc )
= [ (b+c)² - a² ]*[ (b-c)² - a² ]
= (b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)
= - (b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)

因為邊長皆為正數, 所以 b+c+a 為正.
因為三角形的兩邊和大於第三邊, 所以 (b+c-a) , (a+b-c) , (a+c-b) 皆為正.
因此, D < 0 , 即此方程式之根為共軛虛根.
Ans: 虛根

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2.
此題為兩線段比, 故與正五邊形大小無關,
因此, 以下列步驟所建構之正五邊形, 不失一般性.
圓心在原點的單位圓, 令 A = ( 1 , 0 ) , 然後逆時鐘方向每72°依序取 B, C, D, E,
則ABCDE為正五邊形, 其餘四點座標為:
B = ( cos θ , sin θ ) , 其中 θ = 72° = 2π/5
C = ( cos 2θ , sin 2θ )
D = ( cos 3θ , sin 3θ )
E = ( cos (-θ) , sin (-θ) ) = ( cos θ , - sin θ )

AB弧 = BC弧 = CD弧 = DE弧 = AE弧 = 72°
因為圓周角 = (1/2)圓心角, 所以:
∠PAB = ∠PBA = ∠PCE = ∠PEC = 36°
∠APB = ∠CPE = 180° - 2*36° = 108°
因此, ΔAPB 與 ΔCPE 為相似形

AP / PC
= AB / CE
= √[ ( cos θ - 1 )² + sin² θ ] / √[ ( cos 2θ - cos θ )² + ( sin 2θ + sin θ )² ]
= √( 2 - 2*cos θ ) / √[ 2 - 2*( cos 2θ*cos θ - sin 2θ*sin θ ) ]
= √( 2 - 2*cos θ ) / √( 2 - 2*cos 3θ )
= √( 1 - cos θ ) / √( 1 - cos 3θ )
= √[ 1 - (√5 - 1)/4 ] / √[ 1 + (√5 + 1)/4 ] , 參考底下註解1, 2
= √[ ( 4 - √5 + 1)/4 ] / √[ ( 4 + √5 + 1)/4 ]
= √( 5 - √5 ) / √( 5 + √5 )
= [ √( 5 - √5 ) * √( 5 - √5 ) ] / [ √( 5 + √5 ) * √( 5 - √5 ) ]
= ( 5 - √5 ) / ( 2√5 )
= ( 5√5 - 5 ) / 10
= ( √5 - 1 ) / 2 ..... Ans

註解1
claim : cos θ = cos 72° = (√5 - 1)/4
pf :
cos 72° = sin ( 90° - 72° ) = sin 18°
令 α = 18° , 則 5α = 90°
3α = 90° - 2α
sin 3α = sin ( 90° - 2α ) = cos 2α
3*sin α - 4*sin³ α = 1 - 2*sin² α
令 u = sin α
3u - 4u³ = 1 - 2u²
4u³ - 2u² - 3u + 1 = 0
( u - 1 )( 4u² + 2u - 1 ) = 0
u = 1 , (-1±√5)/4
1不合, 因為 sin 18° < 1
(-1-√5)/4 不合, 因為 sin 18° > 0
所以 cos 72° = sin 18° = sin α = u = (-1+√5)/4
Q.E.D.

註解2
claim : cos 3θ = cos ( 3 * 72° ) = - (√5 + 1)/4
pf :
cos 3θ
= 4*cos³ θ - 3*cos θ
= cos θ * ( 4*cos² θ - 3 )
= (√5 - 1)/4 * [ 4*( 6 - 2√5 )/16 - 3 ]
= (√5 - 1)/4 * [ ( 3 - √5 )/2 - 3 ]
= (1/4)(√5 - 1) * (1/2)( - 3 - √5 )
= ( - 2 - 2√5 )/8
= - (√5 + 1)/4
Q.E.D.