沙自高處自由落下, 形成一圓錐體。設沙堆體積為V, V=1/3 Pi r^2 h, 其中r 為底半徑, h為沙堆高度。當r=10m時, 沙堆的底半徑以每秒2cm的速度增大而高以每秒1cm的速度增高, 求砂堆體積的變率。?

V=(1/3)π(r^2)(h)
dV/dt=(π/3)(2r)(dh/dt)(dr/dt)
dV/dt=(π/3)(2*10)(1)(2)
dV/dt=40π/3

Sol
V(t)=(1/3) π*(10+t)^2*(h+t)
V’(t)= (2h/3)*π*(10+t)+(1/3)*π*(10+t)^2
V’(10)= (2h/3)*π*20+(1/3)*π*20^2=40πh/3+400π/3
lim(t->10)_[V(t+dt)－V(t)]/dt
=lim(t->10)_V’(t)
=V’(10)
=(40πh/3+400π/3)(cm^3/sec)