1.x^2+xy+y^2除x^5+(x^3)(y^2)+(x^2)(y^3)+y^5的餘式為何? 2.f(x)和g(x)都是關於x的二次多項式且二次項係數都是1.若g(x)除(f(x))^2之餘式是4x-4,f(x)除(g(x))^2之餘式是-4x-4 問f(x)g(x)為何?

1)

(x^5 + x³y² + x²y³ + y^5) / (x² + xy + y²) 的餘式
= (x^5 + y²x³ + y³x² + y^5) / ( (x - y) (x² + yx + y²) ) 的餘式被 (x² + xy + y²) 除的餘式
= (x^5 + y²x³ + y³x² + y^5) / (x³ - y³) 的餘式被 (x² + xy + y²) 除的餘式
= (x³x² + y²x³ + y³x² + y^5) / (x³ - y³) 的餘式被 (x² + xy + y²) 除的餘式
= (y³x² + y²y³ + y³x² + y^5) 被 (x² + xy + y²) 除的餘式
= (2y³x² + 2y^5) / (x² + xy + y²) 的餘式
= 2y³x² + 2y^5 - 2y³(x² + xy + y²)
= - 2xy⁴或
同理以y為主元時可得餘式 = - 2yx⁴。

2)

因 f(x) 和 g(x) 的二次項係數都是1 , 故 f(x) - g(x) 必為關於 x 的一次多項式,
於是( f(x) - g(x) )² = f²(x) - 2 f(x) g(x) + g²(x) 是關於 x 的一次多項式之平方故必為二次多項式。
顯然 g(x) 除 f²(x) - 2 f(x) g(x) + g²(x) 的餘式為 g(x) 除 f²(x) 的餘式 = 4x - 4 ,
同理 f(x) 除 f²(x) - 2 f(x) g(x) + g²(x) 的餘式為 f(x) 除 g²(x) 的餘式 = - 4x - 4。
那麼二次多項式( f(x) - g(x) )² 可表為 k g(x) + 4x - 4 或 k f(x) - 4x - 4 ,
可見 f(x) 和 g(x) 之常數項相同, 而 k 為( f(x) - g(x) )² 的 x² 項之係數, 綜合得 ( f(x) - g(x) )² = kx² ,
於是 kx² = k g(x) + 4x - 4 ⇒ g(x) = x² - 4x/k + 4/k
以及 kx² = k f(x) - 4x - 4 ⇒ f(x) = x² + 4x/k + 4/k
相減後平方得 ( f(x) - g(x) )² = (8x/k)² ⇒ kx² = 64x²/k² ⇒ k³ = 64 ⇒ k = 4
代入得 g(x) = x² - x + 1 , f(x) = x² + x + 1 ,
故 f(x) g(x) = (x² + x + 1) (x² - x + 1) = (x² + 1)² - x² = x⁴+ x² + 1。