About Derivatives?

你是先算出 f ' (x) , 再算 f ' (1) , 所以"不用"加 lim 在前.
而且, 你的計算過程是正確的 !!

當然, 這題也可以直接由導數的定義來計算, 此時就牽涉到 lim 了 :
f ' (1)
= lim x→1 [ f(x) - f(1) ]/( x - 1 )
= lim x→1 [ ( x + 5 )/( x² + 5 ) - 1 ]/( x - 1 )
= lim x→1 [ ( x + 5 - x² - 5 )/( x² + 5 ) ]/( x - 1 )
= lim x→1 [ ( x - x² )/( x² + 5 ) ]/( x - 1 )
= lim x→1 ( - x )( x - 1 )/[ ( x² + 5 )( x - 1 ) ]
= lim x→1 ( - x )/( x² + 5 )
= - 1/6

當然, 最嚴謹的方式是分別計算 f ' (1+) , f ' (1-) ,
兩者相等時, f ' (1) 存在......