x^38-2x^26+3x^11-x被x^3+2x^2+2x+1除的餘式為何? x^37-2x^25+3x^10-1被x^3+2x^2+2x+1除的餘式為何?

令 (x^38 - 2x^26 + 3x¹¹ - x) / (x³ + 2x² + 2x + 1) 的餘式
= (x^38 - 2x^26 + 3x¹¹ - x) / ( (x + 1) (x² + x + 1) ) 的餘式 = ax² + bx + c

則 (x^38 - 2x^26 + 3x¹¹ - x - (ax² + bx + c)) / (x + 1) 的餘式 = 0
(-1)^38 - 2(-1)^26 + 3(-1)¹¹ - (-1) - (a(-1)² + b(-1) + c) = 0
1 - 2 - 3 + 1 - a + b - c = 0
a - b + c = - 3

且 (x^38 - 2x^26 + 3x¹¹ - x - (ax² + bx + c)) / (x² + x + 1) 的餘式 = 0
(x^38 - 2x^26 + 3x¹¹ - x - (ax² + bx + c)) / ( (x - 1) (x² + x + 1) ) 的餘式 / (x² + x + 1) 的餘式 = 0
(x²(x³)¹² - 2x²(x³)^8 + 3x²(x³)³ - x - (ax² + bx + c)) / (x³ - 1) 的餘式 / (x² + x + 1) 的餘式 = 0
(x² - 2x² + 3x² - x - (ax² + bx + c)) / (x² + x + 1) 的餘式 = 0
((2 - a)x² - (b + 1)x - c ) / (x² + x + 1) 的餘式 = 0
故 (2 - a) : - (b + 1) : - c = 1 : 1 : 1 ⇒ a - 2 = b + 1 = c ,
則 a - b + c = - 3 ⇒ a - (a - 3) + (a - 2) = - 3 ⇒ a = - 4 , b = - 7 , c = - 6 ,
故 x^38 - 2x^26 + 3x¹¹ - x 被 x³ + 2x² + 2x + 1 除的餘式 = - 4x² - 7x - 6。

令 x^37 - 2x^25 + 3x¹º - 1 = Q(x) * (x³ + 2x² + 2x + 1) + px² + qx + r
則 x(x^37 - 2x^25 + 3x¹º - 1) = xQ(x) * (x³ + 2x² + 2x + 1) + px³ + qx² + rx
x^38 - 2x^26 + 3x¹¹ - x = xQ(x) * (x³ + 2x² + 2x + 1) + px³ + qx² + rx
x^38 - 2x^26 + 3x¹¹ - x = (xQ(x)+p) * (x³ + 2x² + 2x + 1) - (px³ + 2px² + 2px + p) + px³ + qx² + rx
x^38 - 2x^26 + 3x¹¹ - x = (xQ(x)+p) * (x³ + 2x² + 2x + 1) + (q - 2p)x² + (r - 2p)x - p

由 x^38 - 2x^26 + 3x¹¹ - x 被 x³ + 2x² + 2x + 1 除的餘式 = - 4x² - 7x - 6
得 (q - 2p)x² + (r - 2p)x - p = - 4x² - 7x - 6 , 比較係數得 2p - q = 4 , 2p - r = 7 , p = 6 ⇒ p = 6 , q = 8 , r = 5 ,
故 x^37 - 2x^25 + 3x¹º - 1 被 x³ + 2x² + 2x + 1 除的餘式 = 6x² + 8x + 5。

註:
如果 f(x) 被 g(x) 除的餘式為 r(x) , 那 xf(x) 被 g(x) 除的餘式 = x r(x) 被 g(x) 除的餘式。