超難數學題 煩請大神解答?

獲勝跟獲勝之間出現10次失敗的機率

= P(獲勝) P(輸)¹º P(獲勝)
+ P(獲勝) (11C10) P(輸)¹º P(平手) P(獲勝)
+ P(獲勝) (12C10) P(輸)¹º P(平手)² P(獲勝)
+ P(獲勝) (13C10) P(輸)¹º P(平手)³ P(獲勝) + ......

= P(獲勝)² P(輸)¹º (1 + 11C10 * P(平手) + 12C10 * P(平手)² + 13C10 * P(平手)³ + ......)
= (2/9)² (5/18)¹º (1 + 11C10 * 1/2 + 12C10 (1/2)² + 13C10 (1/2)³ + ......)

令 S = 11C11 + 11C10 / 2 + 12C10 / 2² + 13C10 / 2³ + ......
則 2S = 2(11C11) + 11C10 + 12C10 / 2 + 13C10 / 2² + 14C10 / 2³ + ......
利用 nCr = (n+1)C(r+1) - nC(r+1) 得
2S -S = S = 11C11 + 11C10 + 11C9 / 2 + 12C9 / 2² + 13C9 / 2³ + ......
則 2S = 2(11C11 + 11C10) + 11C9 + 12C9 / 2 + 13C9 / 2² + 14C9 / 2³ + ......

2S -S = S = 11C11 + 11C10 + 11C9 + 11C8 / 2 + 12C8 / 2² + 13C8 / 2³ + ......

如此類推S = 11C11 + 11C10 + 11C9 + 11C8 + ... + 11C1 + 11C0 / 2 + 12C0 / 2² + 13C0 / 2³ + ......
S = (11C11 + 11C10 + 11C9 + 11C8 + ... + 11C1) + 1/2 + 1/2² + 1/2³ + ......
S = (2¹¹ - 1) + 1/2 / (1 - 1/2) = 2¹¹

故獲勝跟獲勝之間出現10次失敗的機率是 (2/9)² (5/18)¹º 2¹¹ = (2/9)² (5/9)¹º 2 = 8(5¹º) / 9¹² = 0.0002766176689....

了解，太厲害了 感謝您!可以請問是說每玩10萬次 會贏99973次輸27次，還是說會贏(10萬*2/9)-27次