中四數學挑戰題: 設n和A為正整數. 在圖中, 把兩個邊長分別是n cm和12cm的金屬實心正立方體鎔化後, 鑄成一個實心金屬長方體. 該金屬長方體的高為(n+10)cm和其底面積為A cm2. 利用(a)部的結果, 求n的最大值.?

[匿名]

2016-08-26 8:30 am

topic: 續多項式

請看圖: https://s11.postimg.org/4bdka7ts3/image.jpg

(a) 求(x^3+12^3)/(x+10)的餘數

(b) 設n和A為正整數. 在圖中, 把兩個邊長分別是n cm和12cm的金屬實心正立方體鎔化後, 鑄成一個實心金屬長方體. 該金屬長方體的高為(n+10)cm和其底面積為A cm2. 利用(a)部的結果, 求n的最大值.

(a) 部當然識計, 但(b)部就...係米要用到 y=a(x-h)^2+k 依條公式? 麻煩哂各位數學勁人!

更新1:

講下我計成點. 被除式=除式x商式+餘式 n^3+12^3=(n+10)x商式+728 n^3+1728-728=(n+10)x商式商式=(n^3+10^3)/(n+10) = (n+10)(n^2-10n+100)/(n+10) =n^2-10n+100 所以, A=n^2-10n+100 A=n^2-10n+5^2-5^2+100 =(n-5)^2+75 所以, A的極小值是75. 但我明白, A最小的時候不代表n最大. 所以...結論係我唔識計

更新2:

答案: (a) 728 (b) 718

回答 (1)

用戶2053

2016-08-26 4:30 pm

✔ 最佳答案

a)
可直接由餘式定理得 (x³ + 12³) / (x+10) 的餘數 = -10³ + 12³ = 728。

b)
你的商式沒錯,但本題不必求商式,而且你誤以為 A = 商式。
其實 A = (n³ + 12³) / (n+10) = (商式*(n+10) + 餘數) / (n+10) = 商式 + 餘數/(n+10)
利用(a)部的結果得 A = 商式 + 728/(n+10),
因商式為關於正整數n的多項式故它亦為整數, 且A為正整數故由上式知 728/(n+10) 亦必為整數,
明顯最大 n = 718 , 而 A = (n³ + 12³) / (n+10) 對 n = 718 而言亦不會是負數或0, 無疑 n 的最大值就是718。

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