x^3+2x-1＝0 1. 利用y=x^3和y=-2x+1的圖形，說明x^3+2x-1＝0恰有一個’實根r’且0＜r＜1 2. r為有理數或無理數？

“利用圖形”的意思並非要求繪圖憑視覺判斷(故不必繪圖), 而是要求從圖像之角度分析
三次曲線 y = x³ 與直線 y = - 2x + 1 之交點情況, 從而判定方程實根的情況。

當 x ≥ 0 時有 x³ ≥ 0 且遞增 ; 當 x ≤ 0 時有 x³ ≤ 0 且遞減, 故 y = x³ 之曲線經過第Ⅰ、Ⅲ象限。
y = - 2x + 1 ⇒ x/(1/2) + y/1 = 1 , 此直線之x、y軸截距皆正故 y = - 2x + 1 之直線經過第Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ象限。
綜上曲線 y = x³ 與直線 y = - 2x + 1 都經過第Ⅰ象限。
又當 x ≥ 0 時, y = x³ 從 0 開始遞增而 y = - 2x + 1 從 1 開始遞減,
故曲線 y = x³ 與直線 y = - 2x + 1 在第Ⅰ象限內有且只有一個交點 (r,y'),
因 (r,y') 在第Ⅰ象限且不在y軸故 0 < r 且 r 必小於直線 y = - 2x + 1 之 x 軸截距 = 1/2, 於是 0 < r < 1/2。
由 y = x³ 與 y = - 2x + 1 得 x³ + 2x - 1 = 0, 故 0 < r < 1/2 為 x³ + 2x - 1 = 0 之唯一實根。

設 r 為有理數 = p/q , 整數 p 與整數 q 互質, 則 (p/q)³ + 2p/q - 1 = 0 ⇒ p³ + 2pq² - q³ = 0 ⇒ p³ = q²(q - 2p),
q 是 p³ 的因數但 p 與 q 互質故 q = 1 , 即 r = p , 但整數 p > 1/2 與 0 < r < 1/2 矛盾! 故 r 為無理數。