若a. b為有理數，且a. b不等於0，x. y 均為無理數，則下列何者為真? ⑴a+b+x為無理數 ⑵xy為無理數 ⑶a分之x+b分之x為無理數 ⑷若a+x=b+y，則a=b且x=y ⑸a+b√2為無理數 請給我詳解，謝謝?

背景資料 :-
a) 有理數 - 可寫成 p/q -- ( p,q 為實數, q≠0 )

無理數 - 不可寫成 p/q
eg. √2, √3, √5, √7, ....... ,π, e, ....

b) 怎樣能令一「無理數」變為「有理數」？
eg. 無理數√2 :
√2 × √2 = 2
√2 × √18 = √2 × 3√2 = 3×2 = 6

結論 :「無理數」×「無理數」--- 有可能變為「有理數」
同理 :「無理數」/「無理數」 --- 有可能變為「有理數」
√2 + √2 = 2√2
√2 + √2 + √2 + √2 = 4√2
√2 + √18 = √2 + 3√2 = 4√2

結論 :「無理數」+「無理數」 --- 無可能變為「有理數」
同理 :「無理數」-「無理數」 --- 無可能變為「有理數」

∴「無理數」±「無理數」= 「無理數」


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⑴ a+b+x = (有理數+有理數)+無理數 = 有理數+無理數 = 無理數
∴ a+b+x為無理數 --- 真

⑵ xy = 無理數×無理數 -- 有可能變為「有理數」
∴ xy為無理數 --- 不正確

⑶ a分之x+b分之x = x/(x+b)/a = x/[a(x+b)]
a(x+b) = (有理數)(無理數+有理數) = (有理數)(無理數) = 無理數
∴ x/[a(x+b)] = 無理數 / 無理數 -- 有可能變為「有理數」
∴ a分之x+b分之x為無理數 --- 不正確

⑷ 若 a+x=b+y :
反例 1+√2 = 2+(√2-1), 但有理數: 1≠2 且 無理數: √2≠√2-1

∴ 若a+x=b+y，則a=b且x=y --- 不正確

⑸a+b√2=有理數+(有理數)√2=有理數+(有理數×無理數)=有理+無理=無理數
∴ a+b√2為無理數 --- 真

第四小題是不正確的喔
以下是反例：
.. 1 + (1+√2) = 2 + √2
a不等於b , x也不等於y

(1) 正確，因為什麼有理數加無理數也是無理數。
(2) 正確，因為什麼無理數乘無理數可以也是無理數。
(3) 正確，因為與(1)一樣
(4) 錯誤，a不一定等於b，x不一定等於y
(5) 正確，因為√2是無理數