下列敘述何者正確? 1.若a為一實數,且a³與a的5次方都是有理數,則a是有理數 2.若a為一實數,且a的4次方與a的6次方都是有理數,則a是有理數 3.若a、b、c、d為實數,a+b√2=c+d√2, 則a=c且b=d 請給我詳解?

1)
若 a = 0, 則 a 是有理數, 若 a ≠ 0, 則 a = a³ a³ / a^5 也是有理數, 命題正確。

2)
√2 ⁴= 4 與 √2 ^6 = 8 都是有理數, 但 √2 不是有理數, 命題為假。

3)
a + b√2 = c + d√2
a - c = (d - b)√2
取 a - c = √2 , d - b = 1 可使等式成立, 故不一定 a = c 且 b = d , 命題為假。


更新:可以把1.2題再解釋清楚一點嗎?
為什麼a可以=a³ 卻不可以=a⁴
答:
在第1題中, 因 3 和 5 的最大公因數是 1 , 故 a¹ = a 必為有理數。
在第2題中, 因 4 和 6 的最大公因數是 2 , 故 a² 必為有理數, 但不保證 a 也是有理數。

那如果a的2次方為一實數,且a的6次方和a的14次方為有理數,則哪些必為有理數?
答:
因 6 和 14 的最大公因數是 2 , 故 2 可表為 6 和 14 的一些加減結果, 例如 2 = 14 - 6 - 6 ,
故 a² = (2^14) / ((2^6) (2^6)) 必為有理數, 但不保證 a 是有理數。
則 a² 必為有理數 ⇒ a⁴, a^8 必為有理數,
但無法保證 a 是有理數, 而 a³ = a² a 是否有理數則完全取決於 a 是否有理數, 故亦無法保證 a³ 是有理數。
∴ 必為有理數的選項只有 2. 、4. 和 5. 。