投一公正硬弊第一次連出兩正面停止 求投擲次數之期望值?

記已知首次投得正面直至第一次連出兩正面之期望次數為 h 及
記已知首次投得反面直至第一次連出兩正面之期望次數為 t , 則第一次連出兩正面之投擲期望次數
= P(首次投得正面) × h + P(首次投得反面) × t = (1/2)h + (1/2)t = (h + t)/2 。

h = P(正正... | 正... ) × 2 + P(正反... | 正...) × (t + 1) = (1/2)2 + (1/2)(t + 1) = (t + 3)/2
⇒ 2h = t + 3
t = P(反正... | 反...) × (h + 1) + P(反反... | 反...) × (t + 1) = (1/2)(h + 1) + (1/2)(t + 1) = (t + h + 2)/2
⇒ t = h + 2

解之得 h = 5 , t = 7 , 故第一次連出兩正面投擲次數之期望值 = (5 + 7)/2 = 6 次。