①n為整數，證明「若3整除n²,則3可整除n」與「若3不整除n,則3不整除n²」(要分別證明) ②利用①證明√3為無理數 ③利用①證明√3+√5為無理數?

①
若 n 為整數,
則 n 除以3的餘數 , 只可能為 0 或 1 或 2 , 沒有其他可能.

類型一. 當 n 除以3的餘數為 0
則存在整數 k , 使得 n = 3k
n² = 9k² = 3*3k² , 即3可整除 n²

類型二. 當 n 除以3的餘數為 1
則存在整數 k , 使得 n = 3k + 1
n^2 = 9k² + 6k + 1 = 3*( 3k² + 2k ) + 1 , 即3不能整除n²

類型三. 當 n 除以3的餘數為 2
則存在整數 k , 使得 n = 3k + 2
n^2 = 9k² + 12k + 4 = 3*( 3k² + 4k + 1 ) + 1 , 即3不能整除n²

若3整除n²
則 n 必屬類型一
即3可整除n
故得証:「若3整除n² , 則3可整除n」

若3不整除n
則 n 必屬 類型二 或 類型三
即3不能整除n²
故得証:「若3不整除n , 則3不整除n²」

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②
設 √3 為有理數
即存在整數 p 與 q , 使得 √3 = q/p 且 ( p , q ) = 1
所以 3 = q² / p²
q² = 3p² , 即 3整除q²
由①可得: 3可整除q

因為 3可整除q
所以 存在整數 k , 使得 q = 3k
代入 q² = 3p² 得 :
9k² = 3p²
p² = 3k² , 即 3整除p²
由①可得: 3可整除p

因為 3可整除p 且 3可整除q
所以3為p與q的公因數 , 與 ( p , q ) = 1 矛盾
因此, √3 為有理數 的假設是錯誤的.
所以 √3 為無理數

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③
利用①的證明方式,
同樣可証得: 「n為整數. 若2整除n² , 則2可整除n」..... 性質1

設 √3+√5 為有理數
即存在整數 p 與 q , 使得 √3+√5 = q/p 且 ( p , q ) = 1
所以 3 + 2√15 + 5 = q²/p²
2√15 = q²/p² - 8 = ( q² - 8p² )/p²
√15 = ( q² - 8p² ) / ( 2p² )
15 = ( q² - 8p² )² / ( 4p⁴ )
60p⁴ = ( q² - 8p² )² = q⁴ - 16p²q² + 64p⁴
4p⁴ - 16p²q² + q⁴ = 0
q⁴ = 16p²q² - 4p⁴ = 2p²( 8q² - 2p² ) , 即 2可整除q⁴
由性質1可得: 2可整除q²
再由性質1可得: 2可整除q

因為 2可整除q
所以 存在整數 k , 使得 q = 2k
代入 q⁴ = 16p²q² - 4p⁴ 得 :
16k⁴ = 64p²k² - 4p⁴
4k⁴ = 16p²k² - p⁴
p⁴ = 16p²k² - 4k⁴ = 2( 8p²k² - 2k⁴ ) , 即 2可整除p⁴
由性質1可得: 2可整除p²
再由性質1可得: 2可整除p

因為 2可整除p 且 2可整除q
所以2為p與q的公因數 , 與 ( p , q ) = 1 矛盾
所以 √3+√5 為無理數