證明①√2為無理數②5-√2亦為無理數③³√3-√2也是無理數?

① 假設 √2 為有理數, 則必存在正整數 k 使 √2 k 為正整數。
考慮另一正整數 √2 k - k = (√2 - 1)k < k , 而且 √2 (√2 k - k) = 2k - √2 k 亦為正整數,
於是我們找到比 k 更小的正整數 k' = √2 k - k 使 √2 k' 為正整數, 同理可找到比 k' 更小的正整數 k" 使 √2 k" 為正整數, 這樣有無窮多遞降的正整數 k > k' > k" > ... 滿足其與 √2 之積為正整數,
但正整數是不能無窮遞降的,矛盾! 故不存在正整數 k 使 √2 k 為正整數, 即√2 必為無理數。

② 假設 5 - √2 = n 為有理數, 則 √2 = 5 - n 為有理數矛盾! 故5 - √2亦為無理數。

③ 假設 ∛3 - √2 = n 為有理數, 則
∛3 = n + √2
3 = (n + √2)³
3 = n³ + 3n²√2 + 6n + 2√2
√2 = (3 - n³ - 6n) / (3n² + 2) 為有理數矛盾! 故 ∛3 - √2 為無理數。