問幾個無理數的問題，正確以T 表示，錯的F並舉反例 1一個正整數開根號後，結果不是整數即為無理數 2一個無理數開根號可能變成有理數(如果這是對的給我一個例子) 3兩相異有理數中有無限多的有理數及無理數 4兩相異無理數中有無限多的有理數及無理數?

1) 一個正整數開根號後，結果不是整數即為無理數 (T)
證明:
若n為正整數, 且√n 非無理數, 則存在互質正整數 p、q 使 √n = p/q , 得 q²n = p² , 因 q² 與 p² 互質, 故 n 必為 p² 之倍數, 這樣只有當 q² = 1 即 n = p² 時等式才會成立, 故 √n 非無理數即有 √n = p 是整數, 所以命題成立。

2) 一個無理數開根號可能變成有理數 (F)
否證:
設無理數 n 使 √n = m 為有理數, 則無理數 n = m² 為有理數矛盾! 命題被否定。

3) 兩相異有理數中有無限多的有理數及無理數 (T)
證明:
設兩相異有理數 a < b , 則 a < (a+b)/2 < b , 即有理數 a 、b 間有有理數 (a+b)/2 ,
重複此過程有理數 a 、(a+b)/2 間有有理數 c , 此過程可無限重複故兩相異有理數中有無限多的有理數。
另一方面, 取一個大於 1 的無理數 π ,
則 a < b ⇒ (π - 1)a < (π - 1)b ⇒ πa < πb + a - b < πb ⇒ a < b + (a - b)/π < b ,
明顯 b + (a - b)/π 為無理數, 故兩相異有理數中必有無理數, 而大於1的無理數 π 有無限個,
故兩相異有理數中必有無限多的無理數。綜上命題成立。

4) 兩相異無理數中有無限多的有理數及無理數 (T)
證明:
假設兩相異無理數之間只有有限多的無理數, 則兩相異無理數之間有無限多的有理數,
但由題 3) 知任兩個有理數間有無限多的無理數, 這樣兩相異無理數之間有無限多的無理數與假設矛盾!
故兩相異無理數之間有無限多的無理數。
另一方面, 記兩相異無理數的無窮小數表示分別為
a.b...cde... < A.B...CDE... , 其中a、A為整數 , 0.b...cde...、0.B...CDE... 為無理數 ,
若兩數首若干位數字相同 , 約定 a.b...c = A.B...C ,
則 a.b...cde... < 0 和 A.B...CDE... > 0 兩者間必至少有一者成立 ,
若 a.b...cde... < 0, 則 a < 0 及 0.b...cde... < 0 , 此時 a.b...cde... < ... < a.b...cde < a.b...cd < A.B...CDE... ,
即有無限多個有理數 ... < a.b...cde < a.b...cd 在兩相異無理數之間 ;
若 A.B...CDE... > 0, 則 a.b...cde... < A.B...CD < A.B...CDE < ... < A.B...CDE... ,
即有無限多個有理數 A.B...CD < A.B...CDE < ... 在兩相異無理數之間, 故兩相異無理數中有無限多的有理數。
綜上命題成立。