1.P與3P-25/2P+1均為自然數，求P=? 2.試證當n€N,5n+2/2n+1恆不為整數(歸謬)?

自然數的定義有兩種, 一種包含 0, 另一種不包含 0
但若第2題採用包含 0 , 會產生矛盾; 所以這兩題應該採用不包含 0 的定義.

1.
因為 (3P-25)/(2P+1) 為自然數
所以 2P+1｜3P-25
又 2P+1｜2P+1
所以 2P+1｜(-2)(3P-25) + 3(2P+1)
即 2P+1｜53
所以 2P+1 = 1 或 53

(1) 當 2P+1 = 1
P = 0 , 與P為自然數矛盾.
故 P = 0 不合

(2) 當 2P+1 = 53
P = 26
(3P-25)/(2P+1) = (3*26-25)/(2*26+1) = 53/53 = 1 為自然數

Ans: P = 26

2.
此題用反証法 :
設 (5n+2)/(2n+1) 為整數
所以 2n+1｜5n+2
又 2n+1｜2n+1
所以 2n+1｜(-2)(5n+2) + 5(2n+1)
即 2n+1｜1
所以 2n+1 = 1 或 -1

(1) 當 2n+1 = 1
n = 0 , 與 n 為自然數矛盾.

(2) 當 2n+1 = -1
n = -1 , 與 n 為自然數矛盾.

因此 (5n+2)/(2n+1) 為整數的假設是錯的, 故 (5n+2)/(2n+1) 不是整數.
Q.E.D.

Sol
1
(3p－25)/(2p+1) 為自然數
(6p－50)/(2p+1) 為自然數
3－53/(2p+1) 為自然數
(2p+1)｜53
p=26
驗算正確
2
設存在整數愜p使得p=(5n+2)/(2n+1)
p=(5n+2)/(2n+1)=(4n+2+n)/(2n+1)=2+n/(2n+1)
n€N
2n>n
2n+1>n
0<n/(2n+1)<1
p不為整數與假設矛盾