(sin 3)^2 +(sin 6)^2 +(sin 9)^2+...+(sin 90)^2=?

留意 {3, 6, 9, ..., 90} 這個序列有 30 個數。
〔把它們全部除 3 看 {1, 2, 3, ..., 30} 就容易想到。〕

使用以下兩項三角學的特點：
sin²(x) + cos²(x) = 1
sin(90° - x) = cos(x)

撇除 45 和 90，其餘 30 - 2 = 28 個數可以配對 14 組如下：
3 + 87 = 90
6 + 84 = 90
9 + 81 = 90
...
42 + 48 = 90

sin²(3°) + sin²(6°) + sin²(9°) + ... + sin²(90°)
= sin²(3°) + sin²(6°) + sin²(9°) + ... + sin²(42°) + sin²(45°) + sin²(48°) + sin²(51°) + ... + sin²(87°) + sin²(90°)
= sin²(45°) + sin²(90°) + [sin²(3°) + sin²(87°)] + [sin²(6°) + sin²(84°)] + ... + [sin²(42°) + sin²(48°)]
= sin²(45°) + sin²(90°) + [sin²(3°) + sin²(90° - 3°)] + [sin²(6°) + sin²(90° - 6°)] + ... + [sin²(42°) + sin²(90° - 42°)]
= (1/√2)² + (1)² + [sin²(3°) + cos²(3°)] + [sin²(6°) + cos²(6°)] + ... + [sin²(42°) + cos²(42°)]
= 1/2 + 1 + (1 + 1 + ... + 1)
= 1/2 + 1 + 14
= 15 + 1/2
= 31/2