如圖所示，一根長1m的竹杆PQ垂直地豎立在一個斜坡上。已知當太陽光線與水平地面所成的角為70度時，竹杆的影子長0.8m。求該斜坡的傾角。?

[匿名]

2016-07-14 4:25 pm

中三數學較艱深題目

Topic: 三角的應用

如圖所示，一根長1m的竹杆PQ垂直地豎立在一個斜坡上。已知當太陽光線與水平地面所成的角為70度時，竹杆的影子長0.8m。求該斜坡的傾角。

答案是44.7度（準至3位有效數字）

我其實用tan同畢氏定理整到條聯立方程，不過得出：
X^2 + (xtan70o - 1)^2 = 0.8^2
計唔到x
聯立方程：
1. y = xtan70o - 1
2. x^2 + y^2 = 0.8^2

所以，係咪應該用另一種方法計呢？定？麻煩哂各位數學勁人！

更新1:

我upload唔到相! 搞左好耐, 佢話發生問題, 你地up唔up到相?

更新2:

圖片在此: https://www.extratown.com/public/2016/07/15/maths.jpg

更新3:

上面如開不到圖片, 請到此: https://s32.postimg.org/ydkjxhu45/maths.jpg

回答 (1)

Lopez

2016-07-15 11:50 am

✔ 最佳答案

設斜坡的傾角為 θ , 影子長 0.8 m 在水平方向的分量為 x , 垂直方向的分量為 y
圖解請參考以下網址 :
http://imgur.com/a/D1XaL

tan 70° = ( 1 + y )/x
令 k = tan 70° ≒ 2.74747741945462

( 1 + y )/x = k
1 + y = kx
y = kx - 1

由畢氏定理得 x^2 + y^2 = 0.8^2
x^2 + ( kx - 1 )^2 = 0.64
x^2 + k^2x^2 - 2kx + 1 = 0.64
( k^2 + 1 )x^2 - 2kx + 0.36 = 0

x
= [ 2k ± √( 4k^2 - 4*0.36*(k^2+1) ) ] / [ 2( k^2 + 1 ) ]
= [ k ± √( k^2 - 0.36*(k^2+1) ) ] / ( k^2 + 1 )
= [ k ± √( k^2 - 0.36k^2 - 0.36 ) ] / ( k^2 + 1 )
= [ k ± √( 0.64k^2 - 0.36 ) ] / ( k^2 + 1 )

令 A = √( 0.64k^2 - 0.36 )
則 x = ( k ± A ) / ( k^2 + 1 )

代入 k ≒ 2.74747741945462 得 A ≒ 2.11450339064858
再代入 k , A 之值得兩個解 :
x1 = ( k + A ) / ( k^2 + 1 ) ≒ 0.568743713986269
x2 = ( k - A ) / ( k^2 + 1 ) ≒ 0.0740438957002709

y1 = k*x1 - 1 ≒ 0.562610511634031
y2 = k*x2 - 1 ≒ - 0.796566068515053 (不合)
故第二組解應該剔除

tan θ
= y / x
= 0.562610511634031 / 0.568743713986269
≒ 0.989216228326726

θ
= arctan 0.989216228326726
≒ 0.779977100628122 rad
= 0.779977100628122 * ( 180 / π ) °
≒ 44.6893959828421°
≒ 44.7° ..... Ans

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