<高中數學> 請問如何證明 (a+b+c)/3 ≧ (abc)^1/3 if a,b,c 都是正實數呢?

步驟一：證明 (x + y)/2 ≥ √(xy) 其中 x、y 是正實數。
考慮
(√x - √y)² ≥ 0
x - 2√x√y + y ≥ 0
x + y ≥ 2√x√y
(x + y)/2 ≥ √(xy)
證畢。

步驟二：證明 (p + q + r + s)/4 ≥ ∜(pqrs) 其中 p、q、r、s 是正實數。
使用步驟一的結果，代 x = (p + q)/2 及 y = (r + s)/2。
(x + y)/2 ≥ √(xy)
[ (p + q)/2 + (r + s)/2 ]/2 ≥ √[ (p + q)/2 × (r + s)/2 ]
(p + q + r + s)/4 ≥ √[ (p + q)/2 × (r + s)/2 ]
(p + q + r + s)/4 ≥ √[ √(pq) × √(rs) ]　【因為 (p + q)/2 ≥ √(pq) 並 (r + s)/2 ≥ √(rs)】
(p + q + r + s)/4 ≥ ∜(pqrs)
證畢。

步驟三：證明 (a + b + c)/3 ≥ ∛(abc) 其中 a、b、c 是正實數。
使用步驟二的結果，代 p = a、q = b、r = c 及 s = ∛(abc)。
[a + b + c + ∛(abc)]/4 ≥ ∜[abc ∛(abc)]
[a + b + c + ∛(abc)]/4 ≥ ∜[(abc)^(4/3)]
[a + b + c + ∛(abc)]/4 ≥ ∛(abc)
a + b + c + ∛(abc) ≥ 4∛(abc)
a + b + c ≥ 3∛(abc)
(a + b + c)/3 ≥ ∛(abc)
證畢。

Sol
Set p=a^3，q=b^3，r=c^3
(abc)^3=pqr
p^3+q^3+r^3－3pqr
=(p+q+r)(p^2+q^2+r^2－pq－pr－qr)
=(p+q+r)(2p^2+2q^2+2r^2－2pq－2pr－2qr)/2
=(p+q+r)[(p－q)^2+(p－r)^2+(q－r)^2]/2>=0
p^3+q^3+r^3>=3pqr
a+b+c>=3(abc)^(1/3)
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)