(數學)求題意說明跟解法?

已知三個點 : (3,2)、(4,3)、(5,2) , 求這些點的最小平方直線(迴歸直線) .

※ 最小平方法 :
已知 n 個點 : ( X1 , Y1 ) , ( X2 , Y2 ) , ..... , ( Xn , Yn )
求這些點的最小平方直線 Y = a + bX , 使得 :
這些點與直線在 Y 方向上的距離平方和為最小.

Sol :

SS ( sum of the squares , 平方和 )
= [ Y(3) - 2 ]^2 + [ Y(4) - 3 ]^2 + [ Y(5) - 2 ]^2
= ( a + 3b - 2 )^2 + ( a + 4b - 3 )^2 + ( a + 5b - 2 )^2
= ( a^2 + 9b^2 + 4 + 6ab - 4a - 12b )
+ ( a^2 + 16b^2 + 9 + 8ab - 6a - 24b )
+ ( a^2 + 25b^2 + 4 + 10ab - 4a - 20b )
= 3a^2 + 50b^2 + 17 + 24ab - 14a - 56b

∂SS / ∂a = ∂SS / ∂b = 0 時, SS 有最小值, 所以 :
∂SS / ∂a = 6a + 24b - 14 = 0 ..... (1)
∂SS / ∂b = 100b + 24a - 56 = 0 ..... (2)

由 (1) 得 :
6a + 24b = 14 ..... (3)
(2) 除以 4 得 :
6a + 25b = 14 ..... (4)

(4) - (3) 得 b = 0
a = 14/6 = 7/3

Ans: Y = 7/3
(水平線)

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以下用 Excel 驗證 :
A1 輸入 3 , B1 輸入 2
A2 輸入 4 , B2 輸入 3
A3 輸入 5 , B3 輸入 2

D1 輸入 =SLOPE(B1:B3,A1:A3)
計算結果為 0 , 故迴歸直線斜率為 0

D2 輸入 =INTERCEPT(B1:B3,A1:A3)
計算結果為 2.33333333333333 , 故迴歸直線的Y-截距為 2.33333333333333
又 7/3 ≒ 2.33333333333333