A.B.C為三個獨立事件,已知A發生的機率為二分之一,A.B.C均發生的機率為二十四分之一,均不發生的機率為四分之一,則A.B.C恰有一件事發生的機率為?

A發生的機率為 P(A) = 1/2 ;

A,B,C均發生的機率為 P(A) P(B) P(C) = 1/24 ⇒ (1/2) P(B) P(C) = 1/24 ⇒ P(B) P(C) = 1/12 ;

A,B,C均不發生的機率為 (1 - P(A)) (1 - P(B)) (1 - P(C)) = 1/4 ⇒ (1 - 1/2) (1 - P(B)) (1 - P(C)) = 1/4
⇒ 1 - P(B) - P(C) + P(B) P(C) = 1/2 ⇒ 1 - P(B) - P(C) + 1/12 = 1/2 ⇒ P(B) + P(C) = 7/12 ;

解之得 P(B) = 1/3 , P(C) = 1/4 或 P(B) = 1/4 , P(C) = 1/3.
則A.B.C恰有一件事發生的機率為 (1/2)(3/4)(2/3) + (1/2)(1/4)(2/3) + (1/2)(3/4)(1/3) = 11/24.

別解:
則A.B.C恰有一件事發生的機率為
P(A) (1 - P(B)) (1 - P(C)) + P(B) (1 - P(A)) (1 - P(C)) + P(C) (1 - P(A)) (1 - P(B))
= (1/2) (1 - P(B)) (1 - P(C)) + P(B) (1/2) (1 - P(C)) + P(C) (1/2) (1 - P(B))
= (1/2) (1 - P(C)) + P(C) (1/2) (1 - P(B))
= (1/2) - P(B) P(C)
= 1/2 - 1/12
= 11/24.

註: 別解中並無利用A,B,C均不發生的機率為1/4之條件值得注意!