有一隻精力旺盛的青蛙在五塊石頭A、B、C、D、E上跳來跳去，若青蛙在A石起跳，且每次跳動必跳到另一石頭上（即不跳在原站立的石頭上），且跳在任一塊其餘石頭上的機率均等，若已知此青蛙跳了6次時停在A石，求跳了4次時亦停在A石的機率為何？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題：
有一隻精力旺盛的青蛙在五塊石頭 A、B、C、D、E 上跳來跳去，
若青蛙在 A 石起跳，且每次跳動必跳到另一石頭上（ 即不跳在原站立的石頭上 ），
且跳在任一塊其餘石頭上的機率均等，
若已知此青蛙跳了 6 次時停在 A 石，求跳了 4 次時亦停在 A 石的機率為何 ?

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以下有 4 個不同的解法

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解答一：( 知足常樂 知識長的解法一 )
看以下的表格以理解所有路線的數目的分析：
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〔甲〕　　轉移次數：１　　２　　３　　　４　　　　５　　　　６
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〔乙〕到達Ａ的情況：０　　４　１２　　５２　　２０４　　８２０
〔丙〕不達Ａ的情況：４　１２　５２　２０４　　８２０　３２７６
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〔丁〕　　　　總數：４　１６　６４　２５６　１０２４　４０９６
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

留意〔丁〕的數目是 4 的〔甲〕次方。
〔畫 tree diagram 就會明白。〕
而〔乙〕的數目正好是〔丙〕上一欄的數目。
即 丁(n) = 乙(n) + 丙(n) = 4^n
並 乙(n) = 丙(n - 1)
你需要的是 820 那個數，即
乙(6) = 4⁵ - 4⁴ + 4³ - 4² + 4 = 820。

轉移 6 次後在 A 石的路線有 乙(6) = 820 條。
轉移 4 次後在 A 石的路線有 乙(4) = 4³ - 4² + 4 = 52 條。
轉移 4 次後在 A 石，並轉移 6 次後在 A 石的路線有 52 × 4 × 1 = 208 條。
所求機率 = 208/820 = 52/205 = 0.253658537 ( 取至小數點後 9 個位 )

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解答二：( 知足常樂 知識長的解法二 )
令 p(n) 為 n 次轉移後停在 A 石的機率。
並 q(n) 為 n 次轉移後不停在 A 石的機率。

那明顯地 p(1) = 0 並 q(1) = 1。

留意廻遞關係：
{ p(n - 1) + q(n - 1) = 1
{ p(n) = 0 × p(n - 1) + 0.25 × q(n - 1)

故 p(n - 1) + 4 p(n) = 1
即 p(n) = [1 - p(n - 1)]/4

那可以簡易地得：
p(1) = 0 〔初始〕
p(2) = (1 - 0)/4 = 0.25
p(3) = (1 - 0.25)/4 = 0.1875
p(4) = (1 - 0.1875)/4 = 0.203125
p(5) = (1 - 0.203125)/4 = 0.19921875
p(6) = (1- 0.19921875)/4 = 0.200195313

Pr(轉移 4 次後停在 A 石 | 轉移 6 次後停在 A 石)
= Pr(轉移 4 次後停在 A 石 並 轉移 6 次後停在 A 石) / Pr(轉移 6 次後停在 A 石)
= Pr(轉移 4 次後停在 A 石) × Pr(轉移 2 次後停在 A 石) / Pr(轉移 6 次後停在 A 石)
= 0.203125 × 0.25 / 0.200195313
= 0.253658537 ( 取至小數點後 9 個位 )

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解答三：
機率
= (4×3×3×1×4×1 + 4×1×4×1×4×1)/(4×1×4×1×4×1 + 4×1×4×3×3×1 + 4×3×1×4×3×1 + 4×3×3×1×4×1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 4×3×3×3×3×1)
= (144 + 64)/820
= 52/205
( ≈ 0.253658537 )


解釋：
原本青蛙是在 A
A __ __ __ A __ A

( 若有一次青蛙跳到 B、C、D、E 且下次不會跳到 A 的時候，則下次可以跳的地方只有 3 個 )

分子：
情況一：A __ __ __ A __ A：4×3×3×1×4×1
情況二：A __ A __ A __ A：4×1×4×1×4×1
∴ 分子 = 4×3×3×1×4×1 + 4×1×4×1×4×1

分母：
已知青蛙在和第六次跳動會跳到的石頭是 A
情況一：A __ A __ A __ A：4×1×4×1×4×1
情況二：A __ A __ __ __ A：4×1×4×3×3×1
情況三：A __ __ A __ __ A：4×3×1×4×3×1
情況四：A __ __ __ A __ A：4×3×3×1×4×1
情況五：A __ __ __ __ __ A：4×3×3×3×3×1
∴ 分母 = 4×1×4×1×4×1 + 4×1×4×3×3×1 + 4×3×1×4×3×1 + 4×3×3×1×4×1 + 4×3×3×3×3×1

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解答四：( 知足常樂 知識長的解法三 )

這應是 Markov chain 的問題。

轉移矩陣 (transition probability matrix) 是
　　〔　　　０　０．２５　０．２５　０．２５　０．２５〕
　　〔０．２５　　　　０　０．２５　０．２５　０．２５〕
Ｐ＝〔０．２５　０．２５　　　　０　０．２５　０．２５〕
　　〔０．２５　０．２５　０．２５　　　　０　０．２５〕
　　〔０．２５　０．２５　０．２５　０．２５　　　　０〕

第一行的 {0, 0.25, 0.25, 0.25, 0.25} 是代表由 A 轉移一次至 A、B、C、D、E 的機率。
第二行的 {0.25, 0, 0.25, 0.25, 0.25} 是代表由 B 轉移一次至 A、B、C、D、E 的機率。
如此類推。

[ 根據查普曼-科爾莫戈羅夫等式 (Chapman-Kolmogorov equations)，找出 轉移 2 次、4 次、6 次的 結果。 ]
[ 〔別看名稱很複雜，其實是很有趣和不難理解的矩陣相乘意義。〕　　 　　 　　　　 　　　　　　　　　 ]

以下只提供以下各 5 × 5 矩陣第一行第一列（即最左上角）的一個機率，那分別代表由 A 經不同次數轉移回 A 的機率：

Ｐ² ＝ 〔0.25, ...〕
Ｐ⁴ ＝ 〔0.203125, ...〕
Ｐ⁶ ＝ 〔0.200195313, ...〕

題目所求的是已知此青蛙跳了 6 次時停在 A 石，跳了 4 次時亦停在 A 石的機率，
即 Pr(轉移 4 次後停在 A 石 | 轉移 6 次後停在 A 石)
= Pr(轉移 4 次後停在 A 石 並 轉移 6 次後停在 A 石) / Pr(轉移 6 次後停在 A 石)
= Pr(轉移 4 次後停在 A 石) × Pr(轉移 2 次後停在 A 石) / Pr(轉移 6 次後停在 A 石)
= 0.203125 × 0.25 / 0.200195313
= 0.253658537 ( 取至小數點後 9 個位 )

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留意：
P(A∩B) = P(A) P(B|A)　或　P(B|A) = P(A∩B) / P(A)

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以上內容或會「不定時」更新或更改

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　20160624
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