國中數學問題 梯形ABCD，AD平行BC，兩對角線相交於P點，三角形APB面積=三角形APD面積+2，三角形BPC面積=三角形CPD面積+4，求此梯形面積，答案是18。 目前只想到三角形面積:APB=CPD 請大家幫幫忙，謝謝!?

因 AD//BC 故 △ACB 與 △CBD 同底等高得 △ACB = △CBD
⇒ △ACB - △PBC = △CBD - △PBC ⇒ △APB = △CPD.
設 △APB = △CPD = n , △APD = n - 2 , △BPC = n + 4 ,
則 AP/PC = △APD/△CPD = △APB/△CPB ⇒ (n-2)/n = n/(n+4) ⇒ n² = n² + 2n - 8 ⇒ n = 4.
∴此梯形面積 = △APB + △CPD + △APD + △BPC = n + n + n-2 + n+4 = 4n+2 = 4×4+2 = 18.

別解:
設 △APB = x+2 , △APD = x , △BPC = y+4 , △CPD = y ,
則 AP/PC = x/y = (x+2)/(y+4) ⇒ xy + 4x = xy + 2y ⇒ 2x = y ⇒ y/x = 2 ;
又 AD//BC 故 △APD ~ △BPC 得 BC/AD = PC/AP ⇒ (BC/AD)² = (PC/AP)² ⇒ △BPC/△APD = (PC/AP)²
⇒ (y+4)/x = (y/x)² ⇒ y/x + 4/x = (y/x)² ⇒ 2 + 4/x = 2² ⇒ x = 2.
∴此梯形面積
= △APB + △APD + △BPC + △CPD = x+2 + x + y+4 + y = 2(x+y) + 6 = 2(3x) + 6 = 2(3×2) + 6 = 18.