1.設x為實數且y=(9^x+9^-x)+4(3^x+3^-x)+5， (1)令t=3^x+3^-x，求t之範圍. (2)將y表示成t之函數. (3)求y之最小值.?

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題：
設 x 為實數且 y = (9ˣ + 9⁻ˣ) + 4(3ˣ + 3⁻ˣ) + 5，
(1) 令 t = 3ˣ + 3⁻ˣ，求 t 之範圍
(2) 將 y 表示成 t 之函數
(3) 求 y 之最小值 ?

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解答：
(1)
知足常樂 知識長的回答：
對於正實數 a 和 b，a + b ≥ 2√(ab) 並等式於 a = b 時成立。
現 t = 3ˣ + 3⁻ˣ ≥ 2√[(3ˣ)(3⁻ˣ)] = 2√1 = 2。
t 的極小值為 2，此極值於 3ˣ = 3⁻ˣ 即 x = 0 時成立。
故 t 之範圍是 [2, ∞)。

我的解答：
∵ f(x) = 3ˣ + 3⁻ˣ 的對稱軸為 x = 0 ( 可在看看意見區的解釋 )
[ 且 f'(x) 是單調遞增 ( 當 x > 0 ) ]
∴ 3ˣ + 3⁻ˣ ≥ 3⁰ + 3⁻⁰
t ≥ 1 + 1 = 2

(2)
y = (9ˣ + 9⁻ˣ) + 4(3ˣ + 3⁻ˣ) + 5
y = (3²ˣ + 2 + 3⁻²ˣ) + 4(3ˣ + 3⁻ˣ) + 3
y = (3ˣ + 3⁻ˣ)² + 4(3ˣ + 3⁻ˣ) + 3
y = t² + 4t + 3

(3)
y = t² + 4t + 3 = (t + 2)² - 1
∵ -2 < 2
y 之最小值 = (2 + 2)² - 1 = 15

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　20160619
相片：
我們發生某些問題，請再試一次。

(1)
dt/dx=(3^x)(In 3)-(In 3)(3^-x)
x=0
t=3^0 +3^-0
t=2
t之範圍由2至到無限
(2)
y=(9^x+9^-x)+4(3^x+3^-x)+5
y=[3^(2x) +2+3^(-2x)]+4(3^x +3^-x)+3
y=(3^x+3^-x)^2 +4(3^x+3^-x)+3
y=t^2+4t+3

(3)
y=t^2+4t+3
dy/dt=2t+4
dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)
dy/dx=[(3^x)(In 3)-(In 3)(3^-x)](2t+4)
0=[(3^x)(In 3)-(In 3)(3^-x)](2t+4)
x=0 或 t=-2
x=0 或 3^x+3^-x=-2
x=0 或 3^(2x) -2(3^x)+1=0
x=0 或 3^x=1
x=0
y=(9^0+9^-0)+4(3^0+3^-0)+5
y=15
y之最小值=15