求詳解 find the maximum and minimum of the function F(x,y,z)=x+3y+5z on the region {(x,y,z)|x*x+y*y≦z≦5}?

(x , y) 區域為圓 x² + y² = 5 內(包含圓周)之所有點。
則直線 x + 3y = k 與圓 x² + y² = 5 相切時之兩個 k 值分別為 x + 3y 之最大及最小值。
把 x = k - 3y 代入x² + y² = 5 得 10y² - 6ky + k² - 5 = 0 , 相切時 y 有重根故 Δ = (- 6k)² - 4*10(k² - 5) = 0
⇒ 4k² - 200 = 0 ⇒ k = ± 5√2。
於是 x + 3y + 5z 之最大值 = x + 3y 之最大值 + 5z 之最大值 = 5√2 + 5(5) = 25 + 5√2 ;
又 z ≥ x² + y² ≥ 0 , 故 x + 3y + 5z 之最小值 = x + 3y 之最小值 + 5z 之最小值 = - 5√2 + 5(0) = - 5√2。