1.已知多項式f(x)與g(x)滿足f(x)-g(x)=x^3-5x^2+x+1，且g(x)有因式x-1，求f(x)除以x-1的餘式. 2.已知二虛數k與k^2都是實係數方程式x^3+ax^2+bx+1的根，求(1)k的值. (2)a，b的值.?

1.
令 f(x) = (x-1)*A(x) + k , g(x) = (x-1)*B(x) , 則:
f(x) - g(x) = (x-1)*[ A(x) - B(x) ] + k = x^3 - 5x^2 + x + 1

f(x) 除以 x-1 的餘式
= k
= f(1) - g(1)
= 1^3 - 5*1^2 + 1 + 1
= 1 - 5 + 1 + 1
= - 2 ..... Ans

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2.
因為實係數方程式之虛根必成對且互相共軛, 故可設 k = p + q i , k^2 = p - q i
k^2 = ( p + q i )^2 = p - q i
p^2 - q^2 + 2pq i = p - q i , 所以:
p^2 - q^2 = p ..... (1式)
2pq = - q .......... (2式)

由 (2式) :
q ( 2p + 1 ) = 0
q = 0 不合, 因為 k 為虛根.
所以 p = - 1/2 , 再代回 (1式) 得:
1/4 - q^2 = - 1/2
q^2 = 3/4
q = ± √3 / 2
k = - 1/2 ± (√3 / 2) i = ( - 1 ± √3 i ) / 2
p^2 + q^2 = 1

這一對共軛虛根所形成的二次因式
= [ x - ( p + q i ) ] * [ x - ( p - q i ) ]
= x^2 - 2px + p^2 + q^2
= x^2 - 2(-1/2)x + 1
= x^2 + x + 1

又此實係數方程式的最高次係數為1, 常數項也是 1 , 所以還有一個 x+1 的因式:
x^3 + ax^2 + bx + 1 = ( x^2 + x + 1 )( x + 1 ) = x^3 + 2x^2 + 2x + 1
比較係數得 a = b = 2

Ans:
k = ( - 1 + √3 i )/2 或 ( - 1 - √3 i )/2
a = b = 2

註解:
"二虛數 k 與 k^2 " 應該改成 "二複數 k 與 k^2 "
比較沒有爭議, 請參考意見欄.