微積分 Evaluate the area of the surface over a cone : r(u,v)=<u,u*cos(v),u*sin(v)> , where 0≦u≦1, 0≦v≦2π?

方法一 利用向量積分中的曲面積分公式:
dA =｜( ∂r / ∂u ) × ( ∂r / ∂v )｜du dv

∂r / ∂u = < 1 , cos v , sin v >
∂r / ∂v = < 0 , - u*sin v , u*cos v >
( ∂r / ∂u ) × ( ∂r / ∂v ) = < u , - u*cos v , - u*sin v >
｜( ∂r / ∂u ) × ( ∂r / ∂v )｜= √( u^2 + u^2*cos^2 v + u^2*sin^2 v ) = √2 u

所求表面積
= ∫ dA
= ∫ { ∫ √2 u du , from u = 0 to u = 1 } dv , from v = 0 to v = 2π
= ∫ { [ √2 * u^2 / 2 ] , from u = 0 to u = 1 } dv , from v = 0 to v = 2π
= ∫ (√2 / 2) dv , from v = 0 to v = 2π
= (√2 / 2) * [ v ] , from v = 0 to v = 2π
= (√2 / 2) * 2π
= √2 π ..... Ans

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方法二 解析幾何法
x = u
y = u*cos v
z = u*sin v

y^2 + z^2 = u^2 , 此為隨著 u 而變動的圓方程式.
對特定的 u 值而言, 因為 0 ≦ v ≦ 2π , 所以恰好圍成一個圓周.
隨著 u 從 0 變動到 1 , r 向量形成一個圓錐, 高度為 1 , 底面圓半徑也是 1 .
須注意的是, r 向量所形成的表面積, 是圓錐的側面, 不包含底面的圓.

利用圓錐側面的表面積公式 :
A
= πR√( R^2 + h^2 )
= π*1 * √( 1^2 + 1^2 )
= √2 π