隨機選取n個不大於1的正數,則此n個正數之和不大於1的概率為何?

不大於1的正數有 α 個, 在數軸 0____1 上隨機標上 n 個點: p1 , p2 , ... , pn , 則數軸 0___pn 代表 n 個正數之和不大於1, 對應之 n 個正數依序分別為 p1 , p2 - p1 , ... , pn - pn-1, 共有 C(α,n) 種標示 ;
而隨機選取 n 個不大於1的正數依序共有 αⁿ 種, 故此 n 個正數之和不大於1的概率為
C(α,n) / αⁿ
= α(α-1)(α-2)...(α-n+1)/n! / αⁿ
= α(α-1)(α-2)...(α-n+1)/αⁿ / n!
當 α→∞ , n 為常數 , 則 α(α-1)(α-2)...(α-n+1)/αⁿ = 1 , 故此 n 個正數之和不大於1 的概率為 1/n! 。