設X>或=0，Y>或=0，Z>或=0且X+Y+Z=1，試求滿足P=2X-Y+3Z，Q=3X+2Y+4Z之點(P，Q)所形成的面積為多少？

P
= 2X - Y + 3Z
= 2X - Y + 3( 1 - X - Y )
= - X - 4Y + 3

Q
= 3X + 2Y + 4Z
= 3X + 2Y + 4( 1 - X - Y )
= - X - 2Y + 4

Q - P = 2Y + 1
Y = ( - P + Q - 1 ) / 2 ≧ 0
- P + Q - 1 ≧ 0 ..... (1式)

P - 2Q = X - 5
X = P - 2Q + 5 ≧ 0
P - 2Q + 5 ≧ 0 ..... (2式)

Z
= 1 - X - Y
= 1 - ( P - 2Q + 5 ) - ( - P + Q - 1 )/2
= ( - P + 3Q - 7 ) / 2 ≧ 0
- P + 3Q - 7 ≧ 0 ..... (3式)

在 P-Q 座標平面, 做 (1式), (2式), (3式) 之線性規劃,
這三個不等式所圍成的區域, 恰為以下三直線所圍成的三角形區域 :
- P + Q - 1 = 0 ....... (4式)
P - 2Q + 5 = 0 ....... (5式)
- P + 3Q - 7 = 0 ..... (6式)

(4式) & (5式) 解得 ( P , Q ) = ( 3 , 4 ) ≡ ( a1 , a2 ) ≡ A點 , 其中 ≡ 表示 "定義為"
(4式) & (6式) 解得 ( P , Q ) = ( -1 , 2 ) ≡ ( b1 , b2 ) ≡ B點
(5式) & (6式) 解得 ( P , Q ) = ( 2 , 3 ) ≡ ( c1 , c2 ) ≡ C點

Δ =
| b1-a1 b2-a2 |
| c1-a1 c2-a2 |
=
| -4 -2 |
| -1 -1 |
= 2

所求面積
= ΔABC面積
= (1/2) * | Δ |
= (1/2) * | 2 |
= 1 ..... Ans