math question?

依條件得 (a1)² + (a2)² + 2007 = 2009 a1 a2
已知 a1 = 1 , 則易見 a2 = 1為一解(捨去因a2 > a1) , 由根與係數關係得 a2 = 2009 a1 - 1
類似有
(a2)² + (a3)² + 2007 = 2009 a2 a3
已知 a2 = 2009 a1 - 1 , 對照上一個方程知 a3 = a1 為一解(捨去) , 由根與係數關係得 a3 = 2009 a2 - a1
類似有
(a3)² + (a4)² + 2007 = 2009 a3 a4
已知 a3 = 2009 a2 - a1 , 對照上一個方程知 a4 = a2 為一解(捨去) , 由根與係數關係得 a4 = 2009 a3 - a2
類似有
(a4)² + (a5)² + 2007 = 2009 a4 a5
已知 a4 = 2009 a3 - a2 , 對照上一個方程知 a5 = a3 為一解(捨去) , 由根與係數關係得 a5 = 2009 a4 - a3
而
a2 = 2009 a1 - 1 = 2009 × 1 - 1 = 2008
a3 = 2009 a2 - a1 = 2009 × 2008 - 1
a4 = 2009 a3 - a2 = 2009 × (2009 × 2008 - 1) - 2008
a5 = 2009 a4 - a3 = 2009 × (2009 × (2009 × 2008 - 1) - 2008) - (2009 × 2008 - 1)
則 a5 ≡ 3 × (3 × (3 × 2 - 1) - 2) - (3 × 2 - 1) ≡ 3 × 13 - 5 ≡ 34 (mod 2006)
故 a5 除以 2006 時的餘數是 34。