已知正m邊形的一個外角與正n邊形的一個外角的度數比5:4?

Sol
1
360-279=81
正m邊形的一個外角與正n邊形的一個外角的和為81度
2
360/m+360/n=81
1/m+1/n=81/360
1/m+1/n=9/40
40m+40n=9mn
9mn－40m－40n=0
(9mn－40m)－(40n)=0
m(9n－40)－(40/9)(9n)=0
9m(9n－40)－40(9n)=0
9m(9n－40)－40(9n－40)=1600
(9m－40)(9n－40)=1600
1600=2^6*5^2
有(6+1)*(2+1)=21個正因數
分別為1，2，4，5，8，10，16，20，25，64，80，100，200，320，400，800，1600
9m－40=5 or 9m－40=320
(a) 9m－40=5
m=5
9n－40=320
n=40
正5邊形的一個外角=72度，正40邊形的一個外角是9度
(b) 9m－40=320
m=40
9n－40=5
n=5
正5邊形的一個外角=72度，正40邊形的一個外角是9度
3
(m，n)=(5，40) or (m，m)=(40，５)

設 正m邊形外角 = x => 內角 = 180 - x

正m邊形外角 : 正n邊形外角 = 5:4
x : 正n邊形外角 = 5:4
正n邊形外角 = 4x/5
∴ 正n邊形內角 = 180 - 4x/5

∴ (180 - x) + (180 - 4x/5) = 279
360 - 279 = 9x/5
81 = 9x/5
x =45

1) 正m邊形的一個外角與正n邊形的一個外角的和 = x + 4x/5 = 9x/5 = 9(45)/5 = 81

2) 正m邊形的一個外角 = x = 45度
正n邊形的一個外角 = 4x/5 = 4(45)/5 = 36度

3) 正m邊形 內角 = 180 - x = 135
(m - 2) * 180 = 135m
180m - 360 = 135m
45m = 360
m = 8

正n邊形 內角 = 180 - 36 = 144
(n - 2) * 180 = 144n
180n - 360 = 144n
36n = 360
n = 10

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
公式:-
n邊形 內角和 = (n - 2) * 180