設A為方矩陣及I為單位矩陣。
a)求證[(I+A)inverse](I-A)=(I-A)[(I+A)inverse]。
b)若B=[(I+A)inverse](I-A),求證AB=BA。
Matrix (inverse)?
2016-04-22 3:54 am
回答 (1)
2016-04-22 6:26 am
(a)
∵ 存在 (I + A)⁻¹
∴ 存在 (I + A)，使得 (I + A) (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ (I + A) = I
(I + A) (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ (I + A)
(I + A)⁻¹ + A (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ + (I + A)⁻¹ A
A (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ A ...... ①
(I + A)⁻¹ - A (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ - (I + A)⁻¹ A
(I - A) (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ (I - A) ...... ②
∴ (I + A)⁻¹ (I - A) = (I - A) (I + A)⁻¹
(b)
B = (I + A)⁻¹ (I - A)
A (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ A ...... ① (I - A) (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ (I - A) ...... ②
AB
= A (I + A)⁻¹ (I - A)
= A (I + A)⁻¹ - A (I + A)⁻¹ A
= (I + A)⁻¹ A - A (I + A)⁻¹ A ...... ①
= (I - A) (I + A)⁻¹ A
= (I + A)⁻¹ (I - A) A ...... ②
= BA
∴ AB = BA
∵ 存在 (I + A)⁻¹
∴ 存在 (I + A)，使得 (I + A) (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ (I + A) = I
(I + A) (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ (I + A)
(I + A)⁻¹ + A (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ + (I + A)⁻¹ A
A (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ A ...... ①
(I + A)⁻¹ - A (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ - (I + A)⁻¹ A
(I - A) (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ (I - A) ...... ②
∴ (I + A)⁻¹ (I - A) = (I - A) (I + A)⁻¹
(b)
B = (I + A)⁻¹ (I - A)
A (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ A ...... ① (I - A) (I + A)⁻¹ = (I + A)⁻¹ (I - A) ...... ②
AB
= A (I + A)⁻¹ (I - A)
= A (I + A)⁻¹ - A (I + A)⁻¹ A
= (I + A)⁻¹ A - A (I + A)⁻¹ A ...... ①
= (I - A) (I + A)⁻¹ A
= (I + A)⁻¹ (I - A) A ...... ②
= BA
∴ AB = BA
收錄日期: 2021-04-18 14:45:00
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20160421195433AA9jj23