若x、y、z皆為質數,k是整數,求解方程x²+y²+16z²=9k²+1?

x² + y² + 16z² = 9k²+1
任何非3質數形如 3n±1 , 故非3質數的平方形如 3n+1.
假若x , y , z 全為非3質數, 則 x² ≡ 1 (mod 3) , y² ≡ 1 (mod 3) , 16z² ≡ 16 ≡ 1 (mod 3) ,
則 x² + y² + 16z² ≡ 1 + 1 + 1 ≡ 0 (mod 3) 與 9k²+1 ≡ 1 (mod 3) 矛盾!
由此知 x , y , z 中不全為非3質數, 且易知 x , y , z 中恰有二者為 3.

情況一 : 若 x = y = 3 , 則 3² + 3² + 16z² = 9k² + 1
9k² - 16z² = 17
(3k - 4z)(3k + 4z) = 17
因 z 為質數 > 0 , 有 3k - 4z < 3k + 4z 得
3k - 4z = 1 及 3k + 4z = 17 ⇒ k = 3 , z = 2 , x = y = 3 ... (第一組解)
或 3k - 4z = - 17 及 3k + 4z = - 1 ⇒ k = - 3 , z = 2 , x = y = 3 ... (第二組解)

情況二 : 若 x = 3 , z = 3 , 則 3² + y² + 16(3²) = 9k² + 1
9k² - y² = 152
(3k - y)(3k + y) = 152 = ±8 × ±19 = ±4 × ±38 = ±2 × ±76 = ±1 × ±152
因 y 為質數 > 0 , 有 3k - y < 3k + y 得
3k - y = 8 及 3k + y = 19 無整數解.
3k - y = -19 及 3k + y = -8 無整數解.
3k - y = 4 及 3k + y = 38 ⇒ k = 7 , y = 17 , x = z = 3 ... (第三組解)
3k - y = - 38 及 3k + y = - 4 ⇒ k = - 7 , y = 17 , x = z = 3 ... (第四組解)
3k - y = 2 及 3k + y = 76 ⇒ k = 13 , y = 37 , x = z = 3 ... (第五組解)
3k - y = - 76 及 3k + y = - 2 ⇒ k = - 13 , y = 37 , x = z = 3 ... (第六組解)
3k - y = 1 及 3k + y = 152 無整數解.
3k - y = - 152 及 3k + y = - 1 無整數解.

情況三 : 若 y = 3 , z = 3 , 類似情況二的討論得
k = 7 , x = 17 , y = z = 3 ... (第七組解)
k = - 7 , x = 17 , y = z = 3 ... (第八組解)
k = 13 , x = 37 , y = z = 3 ... (第九組解)
k = - 13 , x = 37 , y = z = 3 ... (第十組解)

x^2+y^2+16z^2=9k^2+1
(x+y+4z-3k)^2=1
x+y+4z-3k=1
x+y+4z-1=3k
Assume x=2, y=3, z=5
2+3+4(5)-1=3k
24=3k
k=8
∴ x=2, y=3, z=5, k=8
or
Assume x=3, y=5, z=2
3+5+4(2)-1=3k
15=3k
k=5
∴ x=3, y=5, z=2, k=5

條式可以有唔同答案，以上係其2個，希望可以幫到你啦~

若x、y、z皆為質數,k是整數
方程x²+y²+16z²=9k²+1有無限個解。