微積分問題 1.極值應用 在直線x/a+y/b=1上求一點，使其跟原點的距離為最小 2.(t平方+8)/(t平方-5t+6) 部分分式?

1.
x/a+y/b=1
bx+ay=ab
ay=ab-bx
y=(ab-bx)/a
m=-b/a
m'=a/b
y=ax/b
r^2=(a-0)^2+(b-0)^2
r^2=a^2+b^2
距離為最小=(a^2+b^2)^0.5

2.
(t²+8)/(t²-5t+6)=(125t+71)/(10t+3) +(25t-66)/(2x-1) +(125t-196)/(5t-4)

1.
設 (x,y) 為 x/a + y/b = 1 上的一點

x/a + y/b = 1 ⇔ y = b (1 - x/a) ...... ①

D
= (x - 0)² + (y - 0)²
= x² + [b (1 - x/a)]² ...... (代 ①)
= (1 + b²/a²)x² - 2b²x/a + b²

dD/dx = 2(1 + b²/a²)x - 2b²/a
當 dD/dx = 0,
2(1 + b²/a²)x - 2b²/a = 0
(1 + b²/a²)x = b²/a
(a² + b²)x = ab²
x = ab²/(a² + b²)
y = b [1 - b²/(a² + b²)] = a²b/(a² + b²)

d²D/dx² = 2(1 + b²/a²) > 0

∴ ( ab²/(a² + b²) , a²b/(a² + b²) ) 跟原點的距離為最小

2.

(t² + 8)/(t² - 5t + 6)
= (t² - 5t + 6 + 5t + 2)/(t² - 5t + 6)
= 1 + (5t + 2)/[(t - 2)(t - 3)]
= 1 + A/(t - 2) + B/(t - 3)

A/(t - 2) + B/(t - 3) ≡ (5t + 2)/[(t - 2)(t - 3)]
[A(t - 3) + B(t - 2)]/[(t - 2)(t - 3)] ≡ (5t + 2)/[(t - 2)(t - 3)]
A(t - 3) + B(t - 2) ≡ 5t + 2

代 t = 2，得 A = -12
代 t = 3，得 B = 17

∴ (t² + 8)/(t² - 5t + 6) = -12/(t - 2) + 17/(t + 3) + 1