微積分-求最大最小直?

需要考慮 y 的範圍 ( 或 x 的範圍 ) 的最小及最大

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設 f = 2x² + y²

x² + (y - 1)² = 4
x² = 4 - (y - 1)² ...... [ 範圍：-1 ≤ y ≤ 3 ]

代 x² = 4 - (y - 1)² 入 f，
f = 2[4 - (y - 1)²] + y² = 8 - 2(y - 1)² + y² = 6 - y² + 4y

f = 6 - y² + 4y ...... [ 範圍：-1 ≤ y ≤ 3 ]
f' = - 2y + 4　　　　　　　　( f" = -2 < 0 )
當 f' = 0，得 y = 2

代 y = -1 入 f，f = 6 - (-1)² + 4(-1) = 1
代 y = 2 入 f，f = 6 - (2)² + 4(2) = 10
代 y = 3 入 f，f = 6 - (3)² + 4(3) = 9

∴ 最大值 = 10，最小值 = 1

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極值定理：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9E%81%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86

x^2+(y-1)^2=4
(y-1)^2=4-x^2
y=1+(4-x^2)^0.5 or y=1-(4-x^2)^0.5
dy/dx=0.5(2x)(4-x^2)^(-0.5) or dy/dx=-0.5(2x)(4-x^2)^(-0.5)
dy/dx=x(4-x^2)^(-0.5) or dy/dx=-x(4-x^2)^(-0.5)
0=x(4-x^2)^(-0.5)
x=0
代x=0
y=1+(4-0^2)^0.5 or y=1-(4-0^2)^0.5
y=3 or y=-1
當(x,y)=(0,3)
2x^2+y^2
=2(0)^2 +3^2
=9
=最大
當(x,y)=(0,-1)
2x^2+y^2
=2(0)^2+(-1)^2
=1
=最小