多項式f(x)=x^3+x^2+x+1,則f(x^4)除以f(x)的餘式為何?

f(x) = x³ + x² + x + 1 = (x + 1)(x² + 1)
(x + 1)(x² + 1) = 0 得 x = -1, i, -i

f(x⁴) = (x⁴)³ + (x⁴)² + (x⁴) + 1 = (x³ + x² + x + 1) Q(x) + ax² + bx + c
(x⁴)³ + (x⁴)² + (x⁴) + 1 = (x + 1)(x² + 1) Q(x) + ax² + bx + c ...... ⓐ

代 x = -1 入 ⓐ，得 a - b + c = 4 ...... ①
代 x = i 入 ⓐ，得 - a + bi + c = 4 ...... ②
由 ② 得 b = 0
① - ② 及 代 b = 0 可得 a = 0
代 a = 0，b = 0 入 ① 得 c = 4

f(x⁴) 除以 f(x) 的餘式為 0x² + 0x + 4 = 4

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f(x) = x³ + x² + x + 1

f(x⁴)
= x¹² + x⁸ + x⁴ + 1
= (x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹) - (x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸)
+ 2(x⁸ + x⁷ + x⁶ + x⁵) - 2(x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴)
+ 3(x⁴ + x³ + x² + x) - 3(x³ + x² + x + 3)
+ 4
= (x³ + x² + x + 1)(x⁹ - x⁸ + 2x⁵ - 2x⁴ + 3x - 3) + 4

f(x⁴) 除以 f(x) 的餘式為 4

根據長除法
f(x)=x^3+x^2+x+1=(x^4)[1/x +1/(x^2)+1/(x^3)+1/(x^4)]+0
餘式=0