設平面e通過作標1,-1,1和-1,3,1兩點且與平面x+z=2011的銳夾角為45度 求平面e方程式?

設平面 e 之方程式為 ax + by + cz = k , 故其法向量為 N = ( a , b , c )
令 x+z = 2011 為平面 e' , 其法向量為 N' = ( 1 , 0 , 1 )
因為 e 與 e' 夾角45度, 所以兩者的法向量也夾角45度, 故得:
N．N' = ｜N｜*｜N'｜* cos 45°
( a , b , c )．( 1 , 0 , 1 ) = ｜( a , b , c )｜*｜( 1 , 0 , 1 )｜* ( 1 / √2 )
a + c = √( a^2 + b^2 + c^2 ) * √2 * ( 1 / √2 )
a + c = √( a^2 + b^2 + c^2 )
a^2 + 2ac + c^2 = a^2 + b^2 + c^2
b^2 = 2ac ..... (1式)

又平面 e : ax + by + cz = k 通過座標 ( 1 , -1 , 1 ) 和 ( -1 , 3 , 1 ) 兩點, 所以:
a - b + c = k
- a + 3b + c = k
前式 - 後式 得:
2a - 4b = 0
a = 2b , 代入(1式)得:
b^2 = 2ac = 2*2b*c = 4bc
c = b^2 / 4b = (1/4)b

N
= ( a , b , c )
= ( 2b , b , (1/4)b )
≡ ( 2 , 1 , 1/4 ) , 符號 ≡ 表示"相當於", 這是因為單位法向量是唯一的, 但法向量並不是唯一的.
≡ ( 8 , 4 , 1 )

重設平面 e 之方程式為 8x + 4y + z = k
代入座標 ( 1 , -1 , 1 ) 得:
8 - 4 + 1 = k
k = 5

Ans: 8x + 4y + z = 5